Lista 2 Microeconomia - 1.2025

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Exercício 2 — Utilidade CES

Tem-se que a Função de Utilidade CES

$$u(x)=({\alpha }_1{x}_1^{\rho }+{\alpha }_2{x}_2^{\rho }{)}^{1/\rho }$$

é linear quando $\rho =1$, e converge para a Função de Cobb-Douglas quando $\rho \to 0$.
Suponha-se também que ${\sum }_i{\alpha }_i=1$.

Para verificar isso, podemos tomar o logaritmo, pois Funções monotônicas preservam curvas de indiferença:

$${\tilde{u}}_{\rho }(x)\equiv \ln (u(x))=\frac{1}{\rho }\ln ({\alpha }_1{x}_1^{\rho }+{\alpha }_2{x}_2^{\rho })$$

Tomando o limite, teríamos uma situação $\frac{0}{0}$, i.e. regra de L’Hôpital:

$$\underset{\rho \to 0}{\lim }{\tilde{u}}_{\rho }(x)=\frac{\frac{\partial }{\partial \rho }\ln ({\alpha }_1{x}_1^{\rho }+{\alpha }_2{x}_2^{\rho })}{1}$$

Porém, a derivada não é em relação a $x$!

$$\frac{\partial x^{\rho }}{\partial \rho }=\frac{\partial }{\partial \rho }\exp (\ln x^{\rho })=\frac{\partial }{\partial \rho }\exp (\rho \ln x)=\ln (x)\exp (\ln x^{\rho })=\ln (x)x^{\rho }$$

Portanto, o limite fica

$$\begin{array}{rl}\underset{\rho \to 0}{\lim }{\tilde{u}}_{\rho }(x)& =\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{{\alpha }_1\ln (x_1)x_1^{\rho }+{\alpha }_2\ln (x_2)x_2^{\rho }}{{\alpha }_1{x}_1^{\rho }+{\alpha }_2{x}_2^{\rho }}\\ & ={\alpha }_1\ln x_1+{\alpha }_2\ln x_2\end{array}$$

Re-exponenciando, temos que

$$\underset{\rho \to 0}{\lim }u(x)=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}$$

Uma visualização dessa convergência:

Fonte: Eu mesmo!

Exercício 3

Demandas walrasianas da CES

Pode-se resolver a Demanda Walrasiana para a Função de Utilidade CES em geral. Para isso, compensa resolver o problema de otimização para a nova utilidade¹

$$\tilde{u}(x)\equiv \rho u(x{)}^{\rho }=\rho ({\alpha }_1{x}_1^{\rho }+{\alpha }_2{x}_2^{\rho })$$

Pela otimização do lagrangiano associado, temos²

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }_1\tilde{u}}{p_1}& =\frac{{\partial }_2\tilde{u}}{p_2}\\ ⟹\frac{{\alpha }_1{x}_1^{\rho -1}}{p_1}& =\frac{{\alpha }_2{x}_2^{\rho -1}}{p_2}\\ \therefore x_2& =x_1{\left(\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_2}\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{1}{\rho -1}}\end{array}$$

Assumindo ${\alpha }_1={\alpha }_2$³, e ressubstituindo na Restrição Orçamentária, temos

$$\begin{array}{rl}w& =x_1\left(p_1+\frac{p_2^{1+1/(\rho -1)}}{p_1^{1/(\rho -1)}}\right)\\ & =x_1\frac{(p_1^{\rho /(\rho -1)}+p_2^{\rho /(\rho -1)})}{p_1^{1/(\rho -1)}}\end{array}$$

Defina-se $\delta \equiv \frac{\rho }{\rho -1}$; portanto, $\delta -1=\frac{1}{\rho -1}$. Estamos analisando $\rho \in (-\infty ,1)⟺\delta \in (-\infty ,1)$, onde $(\rho =1)\leftrightarrow (\delta \to -\infty )$ e vice-versa.

Logo, as demandas walrasianas para a função CES (com pesos iguais) são

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{p_1^{\delta -1}}{p_1^{\delta }+p_2^{\delta }}w\\ x_2=\frac{p_2^{\delta -1}}{p_1^{\delta }+p_2^{\delta }}w\end{array}$$

Note-se que é possível reescrevê-las como

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{1}{1+{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\delta }}\frac{w}{p_1}\\ x_2=\frac{1}{{\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{\delta }+1}\frac{w}{p_2}\end{array}$$

O caso linear $(\rho =1)\leftrightarrow (\delta \to -\infty )$ depende dos preços relativos, ficando⁴

$$x(p,w)=\{\begin{array}{ll}\left(\frac{w}{p_1},0\right)& \text{se }{p}_1<p_2\\ \forall \lambda \in [0,1]:\left(\lambda \frac{w}{p},(1-\lambda )\frac{w}{p}\right)& \text{se }{p}_1=p_2\equiv p\\ \left(0,\frac{w}{p_2}\right)& \text{se }{p}_1>p_2\end{array}$$

A Função de Leontief vem quando $(\rho \to -\infty )\leftrightarrow (\delta =1)$:

$$x_1=\frac{w}{p_1+p_2}=x_2$$

Elasticidades de substituição

Note-se que há um erro no enunciado: o correto é

$${\xi }_{12}(p,w)=\frac{\partial x_1/x_2}{\partial p_2/p_1}\frac{p_2/p_1}{x_1/x_2}$$

pois, em verdade, se está falando da elasticidade no tocante à Taxa Marginal de Substituição:

$${\xi }_{12}(p,w)=\frac{\partial \ln (\frac{x_1}{x_2})}{\partial \ln (TM{S}_{21})}$$

No caso geral da função CES (com ${\alpha }_1={\alpha }_2$), tem-se que

$$\frac{x_1}{x_2}={\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{\delta -1}={\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{1-\delta }$$

Derivando com relação a $\frac{p_2}{p_1}$, tem-se

$$\frac{\partial \left(\frac{x_1}{x_2}\right)}{\partial \left(\frac{p_2}{p_1}\right)}=(1-\delta ){\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{-\delta }$$

Portanto, a elasticidade de substituição fica

$${\xi }_{12}(p,w)=(1-\delta )\cancel{\frac{{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{-\delta }\frac{p_1}{p_2}}{{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{1-\delta }}}$$

Reabrindo com relação ao parâmetro original da CES, tem-se

$${\xi }_{12}(p,w)=1-\delta =\frac{1}{1-\rho }$$

Para a utilidade linear, $x_{12}\to \infty$; para Cobb-Douglas, ${\xi }_{12}\to 1$; e para Leontief, ${\xi }_{12}\to 0$.

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References

• VARIAN, Hal R. Intermediate microeconomics: a modern approach. 9 ed. W. W. Norton, 2014.
• Constant elasticity of substitution - Wikipedia
  • CES: Production function: Elasticity of substitution $$\begin{gathered} sigma=1/(1+ \\ rho) \end{gathered}$$ - Economics Stack Exchange

Footnotes

1. De novo, Funções monotônicas preservam curvas de indiferença. ↩

2. Notação para simplicidade: ${\partial }_{i}u\equiv \frac{\partial u}{\partial x_i}$. ↩

3. Não creio que seja correto fazer ambos iguais a $1$, pois (ao que parece) deve-se ter ${\alpha }_1+{\alpha }_2=1$. De qualquer forma, quer dizer a mesma coisa: ambos $x_1$ e $x_2$ possuem mesmo “peso”. ↩

4. Caso $p_1\ne p_2$, então ${\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{\delta }$ ou ${\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\delta }$ vai divergir conforme $\delta \to -\infty$, caso $p_1<p_2$ ou $p_1>p_2$ respectivamente. Caso $p_1=p_2$, não faz diferença alguma intercambiar $x_1$ por $x_2$, sendo qualquer combinação convexa de ambos equivalente. ↩