ANPEC Estatística 04 2025

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O exercício é de urna sem reposição. Sejam $D$ e $E$ o número de desempregados e empregados, respectivamente.

Deseja-se encontrar $P(D=2,E=2)$. Assumindo que não há diferença entre as pessoas selecionadas, haverá um fator combinatorial $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)$. A probabilidade da possibilidade de obter 2 desempregados e 2 empregados consecutivamente é¹

$$\begin{array}{rl}P(D_1=1,D_2=1,D_3=0,D_4=0)& =\\ P(D_1=1)& \\ \times P(D_2=1\mid D_1=1)& \\ \times P(D_3=0\mid D_1=1,D_2=1)& \\ \times P(D_4=0\mid D_3=0,D_1=1,D_2=1)& \\ =\frac{4}{10}\frac{3}{9}\frac{6}{8}\frac{5}{7}& \end{array}$$

Multiplicando pelo fator combinatorial, temos

$$\begin{array}{rl}P(D=2,E=2)& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\frac{2}{\cancel{5}}\frac{1}{\cancel{3}}\frac{\cancel{3}}{4}\frac{\cancel{5}}{7}\\ & =\frac{\cancel{2}\cdot 3\cdot \cancel{2}}{\cancel{4}\cdot 7}\\ & =\frac{3}{7}\\ & \approx 0.42\end{array}$$

Portanto, a resposta é $42$.

Footnotes

1. Ou, equivalentemente, poderíamos ter $P(D_1=1,D_2=1,E_1=1,E_2=1)$, onde $D_i=0⟺E_i=1$. Isso ajuda a ver por que o fator é, em particular, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)$: pois, numa amostra de $4$ indivíduos, queremos que $2$ sejam desempregados – e, portanto, que os restantes destes 4 sejam não-desempregados. ↩