Lista 1 Microeconomia - 1.2025

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Exercício 3

Seja $x(p,w)$ a Demanda Marshalliana, tal que

$$x_l(p,\alpha w)=\alpha x_l(p,w)$$

(homogênea de grau 1 no tocante à Renda, para dado bem $l$).

Derivando com relação a $\alpha$ e tomando $\alpha =1$ ao final, temos

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial x_l}{\partial w}w& =x_l\\ \therefore \frac{\partial x_l}{\partial w}\frac{x_l}{w}\equiv {ϵ}_{lw}& =1\end{array}$$

onde ${ϵ}_{lw}$ é a Elasticidade-Renda da Demanda.

Vetorialmente, temos¹

$${\nabla }_{w}x=\frac{x}{w}$$

Sendo $w$ dado, tomando $\alpha =\frac{1}{w}$, temos

$${\nabla }_{w}x=\frac{1}{w}x(p,1)$$

Ou seja, dados $(p,w)$, temos que a curva $x$ no tocante à renda — i.e. Curva de Engel — tem inclinação constante, é uma reta, de coeficiente $\frac{x(p,1)}{w}$.

Exemplos

1. Substitutos Perfeitos
   Caso $p_2>p_1$, tem-se que se substitui totalmente o consumo de $2$ por $1$. Portanto, pela restrição orçamentária, temos

$$x_1=\frac{w}{p_1}$$

Logo, $\frac{\partial x_1}{\partial w}=\frac{1}{p_1}$ é a inclinação da curva de Engel de (dois) bens substitutos perfeitos.

2. Complementares Perfeitos
   Supondo-se bens complementares $1:1$, temos que $x_1=x_2\equiv x$. Pela restrição orçamentária, teremos

$$x=\frac{w}{p_1+p_2}=x_1=x_2$$

Logo, $\frac{\partial x}{\partial w}=\frac{1}{p_1+p_2}$.

3. Função de Cobb-Douglas
   Tendo bens com coeficientes ${\alpha }_i$ tais que ${\sum }_i{\alpha }_i=1$, temos que suas demandas serão

$$x_i=\frac{{\alpha }_i}{p_i}w$$

com inclinações $\frac{\partial x_i}{\partial w}=\frac{{\alpha }_i}{p_i}$.

Exercício 5

Dados os bens $x$ e $h$², onde $x$ possui preço $p$ e o tempo de trabalho possui salário $s$, temos que a restrição orçamentária é de que

$$\underset{\text{Consumo de bens}}{\underbrace{p\cdot x}}\le \underset{\text{Salaˊrio}}{\underbrace{(24-h)\cdot s}}$$

o que é equivalente a

$$\underset{\text{Custos (+ de oportunidade)}}{\underbrace{p\cdot x+s\cdot h}}\le \underset{\text{Salaˊrio maˊximo}}{\underbrace{24\cdot s}}$$

Fonte: VARIAN, p. 175.

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References

• VARIAN, Hal R. Intermediate microeconomics: a modern approach. 9 ed. W. W. Norton, 2014.

Footnotes

1. I.e. Efeito Renda. ↩

2. O termo para o tempo de trabalho, que é $l\equiv 24-h$ é “tecnicamente” chamado de “mal”. Além disso, evidentemente, $0\le h\le 24$. ↩