A distribuição de Poisson é o limite contínuo da distribuição de Bernoulli

up:: Distribuição de Poisson

Dada uma Distribuição Binomial (i.e. um processo de Bernoulli), tem-se que

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

Dado um intervalo de tempo $\tau$ no qual observa-se este processo, dividido em $n$ subintervalos.

Defina-se

$$\lambda =np⟺p=\frac{\lambda }{n}$$

Substituindo na distribuição binomial,

$$P(X=k)=\left(\frac{n!}{(n-k)!}\frac{1}{n^k}\right)\frac{{\lambda }^k}{k!}{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{n-k}$$

Tomando o limite em que $n\to \infty$ – que é o mesmo que tomar “intervalos infinitesimais” dentro dos quais a distribuição de Bernoulli ocorre –, temos¹

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }P(X=k)& =\frac{{\lambda }^k}{k!}\underset{n\to \infty }{\lim }\text{cancelto}1\left(\frac{n!}{(n-k)!}\frac{1}{n^k}\right)\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n\\ & =\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }\end{array}$$

Portanto, a distribuição de Poisson é definida como

$$P(X=k;\lambda )=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$

Definindo-se $\lambda \equiv rt$, onde $r$ é a taxa de eventos por tempo,

$$P(X=k,T=t;r)=\frac{(rt{)}^k}{k!}{e}^{-rt}$$

que é a distribuição de Poisson onde $k$ eventos ocorrem dentro de um intervalo de tempo $t$ (dada taxa $r$).

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References

• 14. Poisson Process I - YouTube

Footnotes

1. A primeira cancelação ocorre pois $\frac{n!}{(n-k)!}\propto n^k$. Por exemplo, $\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\propto n^2$. O segundo limite é o limite de Euler $e^x=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{x}{n}{)}^n$ (evidentemente tomando $\underset{n\to \infty }{\lim }(n-k)=n$ no expoente). ↩