Distribuição de Bernoulli

up:: 064 MOC Estatística em Economia

A distribuição de Bernoulli trata da probabilidade de sucessos/fracassos¹.

Definindo $P(X=\text{Sucesso})=p$, temos que a variável $X$ segue $X\sim \text{Bern}(p)$.

Denotamos $X=1$ para sucesso, e $X=0$ para fracasso.

Valor Esperado

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[X]& =p\cdot 1+(1-p)\cdot 0\\ & =p\end{array}$$

Variância

$$\begin{array}{rl}Var(X)& =\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[x]=p^2-p\\ & =p(1-p)\end{array}$$

Relação com distribuição binomial

Tendo $\{X_i\}\sim \text{Bern}(p)$ variáveis aleatórias i.i.d., temos que a probabilidade de conformações dos $X_i$‘s seria algo como, por exemplo,

$$P(X_1=1,X_2=0,\dots )=p\cdot (1-p)\dots$$

podendo haver diferença na interpretação de ordens diferentes de eventos².

No caso em que a ordem dos fenômenos não importe, tem-se uma Distribuição Binomial, em que todas as possibilidades são contabilizadas³.

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References

• 13. Bernoulli Process - YouTube

Footnotes

1. Ou seja, o espaço amostral possui somente dois elementos: sucesso/fracasso, cara/coroa, etc. ↩

2. Por exemplo, pode ser que tirar cara e depois coroa seja um fenômeno diferente de tirar coroa e depois cara, dependendo do problema em questão. ↩

3. O Binômio de Newton contabiliza todas as possíveis permutações de uma sequênciae uma sequência]]. ↩