ANPEC Estatística 05 2025

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É uma questão sobre Lei Fraca dos Grandes Números e convergência em probabilidade.

Item 0 – Verdadeiro

É verdadeiro que A média amostral tende em probabilidade para a média das variáveis aleatórias:
Dados $X_1,\dots ,X_n$ i.i.d., com média e variância finitas, temos que

$$plim(\bar{X})={\mu }_X=\mathbb{E}[\bar{X}]$$

independente da distribuição dos $X_i$‘s.

Item 1 – Verdadeiro

Dado algum $ϵ>0$, temos¹

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }P(|a+b\bar{X}-a-b{\mu }_X|\ge ϵ)& =\underset{n\to \infty }{\lim }P(|b||\bar{X}-{\mu }_X|\ge ϵ)\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|\bar{X}-{\mu }_X|\ge \frac{ϵ}{|b|}\right)\\ & =0\end{array}$$

Portanto, $plim(a+b\bar{X})=a+b{\mu }_X$.

Item 2 – Falso

É falso, mas não sei exatamente por quê. Minha intuição diz que é por causa do ${\mu }_T>{\mu }_X$, mas ser um limite de $\frac{\bar{X}}{\bar{T}}$… E também, eu pensaria que o limite seria $\frac{{\mu }_X}{{\mu }_T}$, como ${\mu }_T>0$…

Item 3 – Verdadeiro

Por desigualdade triangular², temos que

$$|\bar{X}-{\mu }_X|+|\bar{Y}-{\mu }_Y|\ge |\bar{X}-{\mu }_X+\bar{Y}-{\mu }_Y|$$

Tendo $ϵ>0$, temos que

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }& P(|\bar{X}+\bar{Y}-{\mu }_X-{\mu }_Y|\ge ϵ)\\ & \le \underset{n\to \infty }{\lim }P(|\bar{X}-{\mu }_X|+|\bar{Y}-{\mu }_Y|\ge ϵ)\end{array}$$

Assumindo que $|\bar{X}-{\mu }_X|\ge \frac{ϵ}{2}$ e idem para $\bar{Y}$, temos que, em particular,

$$\begin{array}{rl}\{|\bar{X}-{\mu }_X|+& |\bar{Y}-{\mu }_Y|\ge ϵ\}\\ & \subset \left\{|\bar{X}-{\mu }_X|\ge \frac{ϵ}{2}\right\}\cup \left\{|\bar{Y}-{\mu }_Y|\ge \frac{ϵ}{2}\right\}\end{array}$$

pois $ϵ>0$ e $|\dots |>0$.

Portanto, temos

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }& P(|\bar{X}+\bar{Y}-{\mu }_X-{\mu }_Y|\ge ϵ)\\ & \le \underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|\bar{X}-{\mu }_X|\ge \frac{ϵ}{2})\right)+P\left(|\bar{Y}-{\mu }_Y|\ge \frac{ϵ}{2}\right)\\ & =0\end{array}$$

Portanto, $plim(\bar{X}+\bar{Y})=plim(\bar{X})+plim(\bar{Y})$.

Item 4 – Verdadeiro

Supondo $Z_i$ Distribuição de Bernoulli $Bern(p)$, temos que $\mathbb{E}[Z_i]=p$ e $Var(Z_i)=p(1-p)$.

Logo, $plim(\bar{Z})=p$ (vide item 0), e

$$Var(\bar{Z})=n\left(\frac{p(1-p)}{n^2}\right)=\frac{p(1-p)}{n}$$

que vai a $0$ conforme $n\to \infty$.

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References

• Conditions for convergence in probability of a sum - Mathematics Stack Exchange

Footnotes

1. Implicitamente tendo que $\bar{X}\equiv {\bar{X}}_n$. ↩

2. Cf Metric Function. ↩