Dadas variáveis aleatórias i.i.d. ${X_{i}}_{i = 1}^{N}$ , cujas médias são

E [X_{i}] = μ

então temos que a média amostral

\overset{ˉ}{X} = \frac{i = 1 \sum N X _{i}}{N}

tende à média $μ$ .

Demonstração

Temos que a variância de $\overset{ˉ}{X}$ é¹

Va r (\overset{ˉ}{X}) = Va r (\frac{\sum X _{i}}{N}) = \frac{1}{N ^{2}} \sum Va r (X_{i}) = \frac{σ ^{2}}{N}

Pela Desigualdade de Chebyshev, para qualquer $t \geq 0$ , temos que

P (∣ \overset{ˉ}{X} - μ ∣ \geq t) \leq \frac{Va r ( X ˉ )}{t ^{2}} = \frac{σ ^{2}}{Nt}

Portanto,

N \to \infty lim P (∣ \overset{ˉ}{X}_{N} - μ ∣ \geq t) = 0

Portanto, a média amostral $\overset{ˉ}{X}$ Converge em Probabilidade para $μ$ .

Pela hipótese de que são independentes, $Va r (\sum X_{i}) = \sum Va r (X_{i})$ ; i.e. as Covariâncias são $0$ . Note-se também que as variâncias são finitas. ↩

Nicholas Funari Voltani