Desigualdade de Chebyshev

up:: 064 MOC Estatística em Economia

A desigualdade de Chebyshev explica a relação entre variância e o spread de uma variável aleatória com relação à sua média. É dela que vem a noção de que a variância é a “amplitude” de uma distribuição de probabilidade.

Equivalentemente, diz que o peso das caudas de uma distribuição de probabilidade possuem um upper-bound baseado na variância.

Seja $X$ uma variável aleatória, e sejam

• $\mu =\mathbb{E}[X]<\infty$
• ${\sigma }^2=Var(X)=\mathbb{E}[(X-\mu {)}^2]<\infty$

Então, para todo $t>0$,

$$P(|X-\mu |\ge t)\le \frac{{\sigma }^2}{t^2}$$

Demonstração

Note-se que, como $t>0$, temos que

$$|t|=t\le |X-\mu |⟺t^2\le |X-\mu |t\le |X-\mu {|}^2$$

Portanto, o resultado segue trivialmente da Desigualdade de Markov:

$$P(|X-\mu |\ge t)=P(|X-\mu {|}^2\ge t^2)\le \frac{{\sigma }^2}{t^2}$$

Corolários

Tendo $t=k\sigma$, temos trivialmente que, para qualquer $k>0$,

$$P(|X-\mu |\ge k\sigma )\le \frac{1}{k^2}$$

Ou seja, para a regra heurística usual de ”$3$ sigmas”, temos que a probabilidade do evento estar dentro de $3\sigma$ é igual a $1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\approx 89\%$. Este upper-bound é bem relaxado quando comparado com o que certas distribuições conseguem, como a distribuição normal ($99.7\%$).

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References

• Variance
• 19. Weak Law of Large Numbers - YouTube