Desigualdade de Markov

up:: 064 MOC Estatística em Economia

A desigualdade de Markov dá uma noção de quão improvável é que uma variável aleatória (não-negativa) seja maior do que sua média.

Seja $X$ uma variável aleatória não-negativa, com valor esperado $\mathbb{E}[X]<\infty$.

Então tem-se que, para todo $a>0$,

$$P(X\ge a)\le \frac{\mathbb{E}[X]}{a}$$

Demonstração

Sendo $f(x)$ a função distribuição de probabilidade de $X$, temos que

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[X]& ={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx={\int }_0^{\infty }xf(x)dx\\ & \ge {\int }_0^{\infty }af(x)dx=aP(X\ge a)\end{array}$$

Corolários

• Desigualdade de Chebyshev, que explica a relação entre variância e spread de uma variável aleatória com relação à sua média

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References

• Markov’s inequality - Wikipedia
• 19. Weak Law of Large Numbers - YouTube