O enunciado diz que $T$ é um estimador de $p$ , que é a média de uma Distribuição de Bernoulli de parâmetro $p$ .

Cálculos Preliminares

E [T] = \frac{1}{6} + \frac{4 p}{6}

Va r (T) = \frac{1}{36} 4 Var (X_{i}) = \frac{1}{9} p (1 - p)

B (T) = E [T] - p

para um parâmetro $p$ dado. Abrindo a conta:

B (T) = \frac{1}{6} - \frac{p}{3}

Itens 0 e 3

Com $p = \frac{1}{2}$ , temos que T é um Estimador Não-Enviesado (ou não tendencioso), pois $B (T) = 0$ .

Para $p = \frac{1}{4}$ , temos

B (T) = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \frac{1}{6} = \frac{1}{12}

Substituindo na fórmula da variância de $T$ , temos que, para $p = \frac{1}{2}$ ,

Var (T) = \frac{1}{36} \neq = \frac{1}{12}

Para $p = \frac{3}{4}$ , temos

Var (T) = \frac{1}{9} \frac{3}{4} \frac{1}{4} = \frac{1}{48} \neq = \frac{1}{36}

Tradeoff Viés-Variância: o erro quadrático médio é

EQM (T) = B (T)^{2} + Var (T)

Abrindo a conta, temos

EQM (T) = (\frac{1}{6} - \frac{p}{3})^{2} + \frac{p}{9} - \frac{p ^{2}}{9} = \frac{1}{36} - \frac{p}{9} + \frac{p ^{2}}{9} + \frac{p}{9} - \frac{p ^{2}}{9} = \frac{1}{36}

que, de fato, independe de $p$ .