Distribuição Geométrica

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Um processo aleatório $\{X_i\}$ de variáveis i.i.d. de uma Distribuição de Bernoulli e que ocorre até o primeiro sucesso $X_i=1$ é dito ser uma distribuição geométrica.

A probabilidade deste primeiro sucesso $T$ ocorrer na $k$-ésima tentativa é dada por

$$P(T=k)=(1-p{)}^{k-1}p$$

Ou seja, $k-1$ fracassos até o primeiro sucesso. Note que a ordem, tecnicamente, importa aqui!

Desigualdades

Note-se que a probabilidade de que o sucesso requeira mais de $t$ tentativas¹ é

$$\begin{array}{rl}P(T>t)& =\sum _{k=t}^{\infty }(1-p{)}^{k-1}p\\ & =p(1-p{)}^t\sum _{m=0}^{\infty }(1-p{)}^m\\ & =(1-p{)}^t\end{array}$$

Portanto,

$$\begin{array}{rl}P(T\ge t)& =P(T>t\vee P=t)\\ & =(1-p{)}^t+(1-p{)}^{t-1}p\\ & =(1-p{)}^t\left(1+\frac{p}{1-p}\right)\\ & =(1-p{)}^{t-1}\end{array}$$

Como um sanity check, note que $P(T\ge 1)=1$, posto que $T=1,2,\dots$.

Memorylessness

Temos que a distribuição geométrica não possui “memória”, ou seja,

$$P(T>t+s\mid T>s)=P(T>t)$$

Abrindo a probabilidade condicional, temos²

$$\begin{array}{rl}\frac{P(T>t+s\wedge T>s)}{P(T>s)}& =\frac{P(T>t+s)}{P(T>s)}\\ & =\frac{(1-p{)}^{t+s}}{(1-p{)}^s}\\ & =P(T>t)\end{array}$$

Valor Esperado

$$\mathbb{E}[T]=\sum _{t=1}^{\infty }(1-p{)}^{t-1}pt$$

Podemos separar o espaço amostral em duas partes: o caso em que $T=1$ ocorre na primeira tentativa, e o caso em que ocorre em $T>1$ tentativas.

Reescrevendo o valor esperado em condicionais, temos

$$\begin{array}{r}\mathbb{E}[T]=\mathbb{E}[T\mid t=1]P(T=1)+\\ \mathbb{E}[T\mid t>1]P(T>1)\end{array}$$

O primeiro termo é simplesmente $1\cdot p$³. A probabilidade $P(T>1)=P(T-1>0)$ é simplesmente $1-p$, pela independência das variáveis aleatórias (também pela memorylessness).

Como temos que

$$\mathbb{E}[T]=\underset{=1}{\underbrace{\mathbb{E}[T\mid T=1]}}+\mathbb{E}[T\mid T>1]$$

temos que $\mathbb{E}[T\mid T>1]=\mathbb{E}[T]-1$. Portanto, temos

$$\begin{array}{r}\mathbb{E}[T](1-(1-p))=p+(1-p)\\ \therefore \mathbb{E}[T]=\frac{1}{p}\end{array}$$

Variância

Derivação deixada para o leitor.

$$Var(T)=\frac{1-p}{p^2}$$

cf Geometric distribution - Wikipedia.

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References

• 13. Bernoulli Process - YouTube
• probability - Proving the lack of memory property of the Geometric distribution - Mathematics Stack Exchange

Footnotes

1. Essa desigualdade me parece ser bem sutil, pois geralmente utilizam a distribuição $P(X=x)=(1-p{)}^{x}p$ (invés de $(1-p{)}^{x-1})$, como no caso da densidade de probabilidade para $x$ contínuo. ↩

2. Isso vale para uma distribuição geométrica em geral, discreta ou contínua. Em particular para a contínua, a desigualdade se torna $\ge$, posto que probabilidades de pontos são zero. ↩

3. Pois o valor esperado de uma constante ($t=1$) é o valor da própria constante. ↩