Distribuição Geométrica

up:: 064 MOC Estatística em Economia

Um processo aleatório de variáveis i.i.d. de uma Distribuição de Bernoulli e que ocorre até o primeiro sucesso é dito ser uma distribuição geométrica.

A probabilidade deste primeiro sucesso ocorrer na -ésima tentativa é dada por

Ou seja, fracassos até o primeiro sucesso. Note que a ordem, tecnicamente, importa aqui!

Desigualdades

Note-se que a probabilidade de que o sucesso requeira mais de tentativas¹ é

Portanto,

Como um sanity check, note que , posto que .

Memorylessness

Temos que a distribuição geométrica não possui “memória”, ou seja,

Abrindo a probabilidade condicional, temos²

Valor Esperado

Podemos separar o espaço amostral em duas partes: o caso em que ocorre na primeira tentativa, e o caso em que ocorre em tentativas.

Reescrevendo o valor esperado em condicionais, temos

O primeiro termo é simplesmente ³. A probabilidade é simplesmente , pela independência das variáveis aleatórias (também pela memorylessness).

Como temos que

temos que . Portanto, temos

Variância

Derivação deixada para o leitor.

cf Geometric distribution - Wikipedia.

---

References

• 13. Bernoulli Process - YouTube
• probability - Proving the lack of memory property of the Geometric distribution - Mathematics Stack Exchange

Footnotes

1. Essa desigualdade me parece ser bem sutil, pois geralmente utilizam a distribuição (invés de , como no caso da densidade de probabilidade para contínuo. ↩

2. Isso vale para uma distribuição geométrica em geral, discreta ou contínua. Em particular para a contínua, a desigualdade se torna , posto que probabilidades de pontos são zero. ↩

3. Pois o valor esperado de uma constante () é o valor da própria constante. ↩