ANPEC Estatística 05 2023

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X segue uma Distribuição Geométrica $\text{Geom}(p)$. Pressupõe-se implicitamente que a variável $X$ começa a partir de $X=1$.

Itens 0 e 1

$\mathbb{E}[X]=\frac{1}{p}$ e $Var(X)=\frac{1-p}{p^2}$.

A forma de lembrar que é um $1-p$ no numerador da variância é que, se $p=1$, então há certeza de sucesso, e $X=1$ sempre, sem sombra de dúvida – portanto, variância nula.

Item 2

Por definição, a probabilidade de um processo geométrico é a probabilidade de sucesso após $k-1$ fracassos.

$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$$

Portanto, $P(X=3)=(1-p{)}^{2}p$.

Item 3

Vide Desigualdades, é possível provar que

$$P(X>k)=(1-p{)}^k$$

Portanto, $P(X>5)=(1-p{)}^5$.

Item 4

O gabarito dá verdadeiro, porém discordo, pelo seguinte cálculo.

É verdade que a distribuição geométrica não possui memória, ou seja,

$$P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$$

Porém, o item possui um menor ou igual. Portanto, seria algo do tipo¹

$$\begin{array}{rl}P(X\ge 8\mid X>4)& =P(X>4+4\mid X>4)+P(X=8\mid X>4)\\ & =P(X>4)+P(X=8)\\ & \ne P(X>4)\end{array}$$

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References

• Exame Nacional de Seleção - Anpec - Provas anteriores

Footnotes

1. Pois os eventos $A\equiv (X>8)$ e $B\equiv (X=8)$ são mutuamente excludentes, portanto $P(A\vee B)=P(A)+P(B)$. ↩