Distribuição de Poisson

up:: 064 MOC Estatística em Economia

A distribuição de Poisson é uma generalização da Distribuição de Bernoulli para variáveis aleatórias contínuas. De fato, num sentido específico, A distribuição de Poisson é o limite contínuo da distribuição de Bernoulli.

Assim como a Distribuição Geométrica computa o tempo discreto até o primeiro sucesso de um processo de Bernoulli, a Distribuição Exponencial computa o tempo contínuo até o primeiro sucesso de uma distribuição de Poisson.

Seja a distribuição de Poisson

$$P(X=k;\lambda )=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$

Caso trate-se também de intervalos de tempo e alguma taxa de eventos por tempo $r$, temos

$$P(X=k,T=t;r)=\frac{(rt{)}^k}{k!}{e}^{-rt}$$

Valor Esperado

Pela própria definição da distribuição de Poisson como o limite de um processo de Bernoulli, tem-se que

$$\lambda =np=\mathbb{E}[X_{Bern}]$$

Portanto¹,

$${\mathbb{E}}_{Poisson}[X]=\lambda$$

que é igual a $rt$ para algum dado intervalo de tempo e taxa $r$.

Variância

Como Poisson é o limite de Bernoulli conforme $n\to \infty$, temos

$$\begin{array}{rl}Va{r}_{Poisson}(X)& =\underset{n\to \infty }{\lim }Va{r}_{Bern}(X)\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }np(1-p)\\ & =\lambda \underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\text{cancelto}0\frac{\lambda }{n}\right)\\ & =\lambda \end{array}$$

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References

• 14. Poisson Process I - YouTube
• 15. Poisson Process II - YouTube

Footnotes

1. Tecnicamente, trata-se do limite desse processo de Bernoulli conforme $n\to \infty$, mas Poisson pre-assume que $\lambda =np$ se mantém constante. ↩