Distribuição Binomial

up:: 064 MOC Estatística em Economia

Um processo aleatório dado por $n$ variáveis aleatórias $\{X_i{\}}_{i=1}^n$ segue uma distribuição binomial quando os $X_i$‘s são i.i.d. e seguem uma Distribuição de Bernoulli $\text{Bern}(p)$.

Seja $S$ a quantidade de sucessos, equivalentemente definida como $S=\sum _{i=1}^n{X}_i$. Então, a probabilidade de que hajam $k$ sucessos é

$$P(S=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

supondo que a ordem dos eventos não importe¹.

Valor Esperado

Há duas formas de se obtê-lo. A mais óbvia é de que

$$\begin{array}{r}\mathbb{E}[S]=\mathbb{E}\left[\sum X_i\right]=\sum \mathbb{E}[X_i]\\ \therefore \mathbb{E}[S]=np\end{array}$$

Outra, desnecessariamente complicada, é de derivar a relação

$$1=\sum _{k=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

com relação a $p$.

Variância

Como os processos $X_i$ são independentes, temos que a variância é a soma das variâncias individuais. Portanto,

$$Var(S)=np(1-p)$$

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References

• 13. Bernoulli Process - YouTube

Footnotes

1. Em cujo caso O Binômio de Newton contabiliza todas as possíveis permutações de uma sequência. ↩