Lema de Shephard

up:: 062 MOC Microeconomia

O lema de Shephard associa a Demanda Hicksiana com a Função Dispêndio: a trajetória da demanda hicksiana é descrita pela variação do dispêndio com relação aos preços. Analogamente, associa a demanda por fatores (da produção) à Função Custo.

062b MOC Teoria do Consumidor

Seja $e(p,\bar{u})$ a Função Dispêndio, a qual é obtida pela minimização de $⟨p|x⟩$ com a restrição de Utilidade $U(x^{\ast })=\bar{u}$. Seja $\mathcal{L}(x,p,\bar{u})=⟨p|x⟩+\lambda (U(x)-\bar{u})$ o lagrangiano associado a esta minimização.

Portanto, pelo Envelope Theorem, temos que

$$\frac{\partial e}{\partial p}=\frac{\partial {\mathcal{L}}^{\ast }(p,\bar{u})}{\partial p}=\frac{\partial \mathcal{L}(x^{\ast }(p,\bar{u}),p,\bar{u})}{\partial p}=x^{\ast }(p,\bar{u})$$

E $x^{\ast }(p,\bar{u})=h(p,\bar{u})$ é justamente a demanda hicksiana!

062c MOC Teoria da Firma

Seja $z(w,q)$ a demanda (condicional) por fatores de produção, obtida pela minimização de $⟨w|z⟩$ com restrição de produção $f(z^{\ast })=q$. Seja $\mathcal{L}(z,w,q)=⟨w|z⟩+\lambda (f(z)-q)$ o lagrangiano associado a esta minimização.

Pelo Envelope Theorem, temos que

$${\nabla }_{w}C=\frac{\partial {\mathcal{L}}^{\ast }}{\partial w}(w,q)=\frac{\partial {\mathcal{L}}^{\ast }}{\partial w}(z^{\ast }(w,q),w,q)=z^{\ast }(w,q)$$

onde $z^{\ast }(w,q)$ é a demanda (condicional) por fatores de produção.

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References

• Shephard’s lemma - Wikipedia
• MAS-COLELL, Andreu et al. Microeconomic theory. New York: Oxford university press, 1995.