Lema de Shephard

up:: 062b MOC Teoria do Consumidor

O lema de Shephard associa a Demanda Hicksiana com a Função Dispêndio: a trajetória da demanda hicksiana é descrita pela variação do dispêndio com relação aos preços.

Seja $e(p,\bar{u})$ a Função Dispêndio, a qual é obtida pela minimização de $⟨p|x⟩$ com a restrição $U(x^{\ast })=\bar{u}$. Seja $\mathcal{L}(x,p,\bar{u})=⟨p|x⟩+\lambda (U(x)-\bar{u})$ o lagrangiano associado a esta minimização.

Portanto, pelo Envelope Theorem, temos que

$$\frac{\partial e}{\partial p}=\frac{\partial {\mathcal{L}}^{\ast }(p,\bar{u})}{\partial p}=\frac{\partial \mathcal{L}(x^{\ast }(p,\bar{u}),p,\bar{u})}{\partial p}=x^{\ast }(p,\bar{u})$$

E $x^{\ast }(p,\bar{u})=h(p,\bar{u})$ é justamente a demanda hicksiana!

---

References

• Shephard’s lemma - Wikipedia
• MAS-COLELL, Andreu et al. Microeconomic theory. New York: Oxford university press, 1995.