Lema de Hotelling

up:: 062c MOC Teoria da Firma

Caso os netputs ótimos de uma Função Produção, dado $p\gg 0$, sejam unívocos por $p$, então

$${\nabla }_p\pi (y^{\ast })=y^{\ast }(p)$$

Este é um resultado análogo ao Lema de Shephard, em 062b MOC Teoria do Consumidor, em que a Demanda Hicksiana é o gradiente (em preços) do Dispêndio.

Demonstração

Tendo o problema de otimização do Lucro como¹

$$\underset{y\in Y}{\max }⟨p|y⟩\mid F(y)=0$$

Ou seja, o lagrangiano associado à otimização é

$$\mathcal{L}(y;p)=⟨p|y⟩+\lambda F(y)$$

Pelo Envelope Theorem, temos que, dado o ótimo $y^{\ast }=y^{\ast }(p)$,

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \mathcal{L}(y,p)}{\partial p}{\mid }_{(y^{\ast },\bar{p})}& =y^{\ast }\\ & ={\nabla }_p\pi (\bar{p})\end{array}$$

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References

• MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael Dennis; GREEN, Jerry R. Microeconomic theory. New York: Oxford University Press, 1995.

Footnotes

1. Assume-se que um netput $y$ é factível (ou seja, $y\in Y$), se $F(y)\le 0$. Aqui, porém, assumo que $y$ é uma solução na fronteira do conjunto de produção, i.e. $F(y)=0$. ↩