Envelope Theorem

up:: 062 MOC Microeconomia

Seja uma função $f(x,\alpha )$ que deve ser otimizada¹ com relação a $x$, sob restrição $g(x,\alpha )=0$, ambas as funções suficientemente diferenciáveis, e $x>0$².

Então devemos otimizar o lagrangiano

$$\mathcal{L}(x,\alpha )=f(x,\alpha )+\lambda g(x,\alpha )$$

através das derivadas

\begin{cases*} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial x } = \frac{ \partial f }{ \partial x }|_{x^*} + \lambda \frac{ \partial g }{ \partial x }|_{x^*} &= 0 \\ \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \lambda } = g(x^*, \alpha) &= 0 \end{cases*}

Seja $x^{\ast }=x^{\ast }(\alpha )$ o valor que otimiza $\mathcal{L}$ (portanto, $f$ sob restrição $g$). Portanto, temos que o lagrangiano otimizado³ é

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}^{\ast }(\alpha )& \equiv \mathcal{L}(x^{\ast }(\alpha ),\alpha )=f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha )+\lambda g(x^{\ast }(\alpha ),\alpha )\\ & =f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha )\equiv f^{\ast }(\alpha )\end{array}$$

Logo, temos que a variação da função $f$ otimizada com relação à variável $\alpha$ se dá através do lagrangiano otimizado⁴.

Podemos analisar as derivadas de $\mathcal{L}$ com relação a $\alpha$, para depois avaliarmos em seu ponto ótimo $x^{\ast }(\alpha )$. Como $\mathcal{L}$ foi maximizada com relação a $x$ e $\lambda$, não há problema nessa comutação, ou seja,

$$\frac{d{\mathcal{L}}^{\ast }}{d\alpha }=\frac{\partial \mathcal{L}(x=x^{\ast }(\alpha ),\alpha )}{\partial \alpha }=\frac{\partial \mathcal{L}(x,\alpha )}{\partial \alpha }{|}_{x^{\ast }(\alpha )}$$

Expandindo $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha }$, temos

$$\begin{array}{rl}\frac{d{f}^{\ast }}{d\alpha }=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha }{|}_{x^{\ast }(\alpha )}& ={\left[\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \alpha }\right]}_{x^{\ast }}+{\left[\frac{\partial f}{\partial \alpha }\right]}_{x^{\ast }}+{\left[\frac{\partial \lambda }{\partial \alpha }g\right]}_{x^{\ast }}+\lambda {\left[\frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \alpha }+\frac{\partial g}{\partial \alpha }\right]}_{x^{\ast }}\\ & =\frac{\partial x}{\partial \alpha }\text{cancelto}0{\left[\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial g}{\partial x}\right]}_{x^{\ast }}+\text{cancelto}0{\left[\frac{\partial \lambda }{\partial \alpha }g\right]}_{x^{\ast }}+{\left[\frac{\partial f}{\partial \alpha }+\lambda \frac{\partial g}{\partial \alpha }\right]}_{x^{\ast }}\end{array}$$

Portanto, temos que

$$\frac{d{f}^{\ast }(\alpha )}{d\alpha }=\frac{\partial f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha )}{\partial \alpha }={\left[\frac{\partial f}{\partial \alpha }+\lambda \frac{\partial g}{\partial \alpha }\right]}_{x^{\ast }}$$

Corolários

Corolários muito importantes para a Microeconomia são a Identidade de Roy e o Lema de Shephard (062b MOC Teoria do Consumidor), assim como o Lema de Hotelling (062b MOC Teoria da Firma).

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References

• 24a. Proving The Envelope Theorem - YouTube
• Envelope theorem - Wikipedia

Footnotes

1. Minimizada ou maximizada (intercambiáveis por sinais negativos). ↩

2. Evita questões de Kuhn-Tucker etc. ↩

3. Também chamado de função valor [value function]. ↩

4. $\mathcal{L}$ este que, no fim das contas, dita como $f^{\ast }(\alpha )$ vem a ser, a partir de $f$ e $g$. ↩