062c MOC Teoria da Firma

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0) Produção

• Função Produção
  • Retorno de Escala
  • Produto Marginal do Trabalho
  • Isoquanta
  • Taxa Marginal de Substituição Técnica
    • Dada uma função custo, a taxa marginal de substituição técnica é a razão dos produtos marginais
    • Elasticidade de Substituição
  • Função de Cobb-Douglas
  • Função de Leontief
• Economia de Escala

1) Minimização do Custo

Usualmente, tem-se que a função produção segue a forma

$$\begin{array}{rl}f:& {\mathbb{R}}_{+}^L\to \mathbb{R}\\ & z\mapsto f(z):=q\end{array}$$

i.e. $L$ insumos ($z$) para a produção de $1$ produto ($q$).

O problema de minimização de custo tem a forma

$$\underset{z\gg 0}{\min }⟨w|z⟩\mid f(z)\ge q$$

(Geralmente assumimos $f(z)=q$, i.e. solução interior, para fugir de Kuhn-Tucker como o diabo foge da cruz.)

O resultado dessa minimização é a função custo $C(w,q)$, além da demanda condicional por fatores de produção $z^{\ast }(w,q)$.

Equivalentemente, este problema pode ser reescrito como

$$\underset{z\gg 0}{\max }⟨p|q⟩-⟨w|z⟩$$

(No caso $f:{\mathbb{R}}_{+}^L\to \mathbb{R}$, $⟨p|q⟩=pq$ naturalmente.)

Ou seja, o problema de minimização de custo é equivalente ao problema de maximização de receita $⟺$ preço $p$ é [menor ou] igual ao custo marginal $CMg$.

• Função Custo
  • Custo Marginal
  • Isocusto
  • O custo médio é mínimo se, e somente se, o custo marginal é igual ao custo médio
• Lema de Shephard
• Sunk Cost

2) Maximização do Lucro

Dado um vetor de preços $p\gg 0$, e supondo netputs $y\in Y\subseteq {\mathbb{R}}^L$ (positivos para produtos, negativos para insumos), temos que o lucro da firma é dado por $⟨p|y⟩$.

O problema da maximização do lucro se traduz em

$$\underset{y\in Y}{\max }⟨p|y⟩$$

Como queremos netputs que sejam viáveis — dada função produção $F$, $F(y)\le 0$ —, o problema de maximização diz

$$\underset{y}{\max }⟨p|y⟩\mid F(y)\le 0$$

(É necessário que $F$ tenha retornos marginais decrescentes, senão $\pi \to \infty$!)

A função $\pi (p)$ associada a essa maximização é chamada de função lucro.

Maximizando para uma solução interior (evitando Kuhn-Tucker vide acima), vem as condições de primeira ordem:

$$\{\begin{array}{l}p=-\lambda \nabla F(y^{\ast })\\ F(y)=0\end{array}$$

Das primeiras equações, tem-se que a taxa marginal de substituição técnica $MTS{T}_{ik}(y^{\ast })$ é igual à razão dos respectivos preços:

$$-\frac{F_i(y^{\ast })}{F_k(y^{\ast })}=:MTS{T}_{ik}(y^{\ast })=-\frac{p_i}{p_k}$$

Assumindo que $Y$ possui somente um produto ($y$), e $L$ insumos ($z$) — i.e. a função de produção é da forma $f:{\mathbb{R}}^L\to \mathbb{R}$ —, a maximização traz

$$\underset{z\ge 0}{\max }pf(z)-⟨w|z⟩$$

cujas condições de primeira ordem (de solução interior) são

$$\nabla f(z^{\ast })=\frac{w}{p}$$

(e $z^{\ast }\gg 0$.) Dessa forma, temos que as taxas marginais de substituição técnica (do produto) com relação a certos insumos são iguais às razões dos preços destes respectivos insumos.

• Função Receita
  • Receita Marginal
  • Demandas inelásticas permitem maior receita com maiores preços
    • $⟺$ Demandas inelásticas têm receita marginal negativa
  • Demandas elásticas prejudicam a receita com maiores preços
    • $⟺$ Demandas elásticas têm receita marginal positiva
  • Poder de Mercado
  • Markup
    • O markup de um monopólio é maior quanto mais rígida a demanda
• Função Lucro
  • Lucro Médio
  • Lucro Marginal
  • A produção ótima ocorre quando o lucro marginal é 0
  • O lucro marginal é 0 quando a receita marginal é igual ao custo marginal
• Lema de Hotelling
• Ótimo de Pareto

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References

• MIT 14.01 Principles of Microeconomics, Fall 2018 - MIT OpenCourseWare (Jonathan Gruber)
• MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael Dennis; GREEN, Jerry R. Microeconomic theory. New York: Oxford University Press, 1995.