O custo médio é mínimo se, e somente se, o custo marginal é igual ao custo médio

up:: Função Custo

Dada uma função custo $C(q)$, temos que a derivada do Custo Médio é

$$\frac{d\left(\frac{C}{q}\right)}{dq}=\frac{1}{q}\left(\frac{dC}{dq}-\frac{C}{q}\right)$$

Portanto, temos que a derivada do custo médio é zero se, e somente se, o Custo Marginal $\frac{dC}{dq}$ for igual ao custo médio $\frac{C}{q}$.

A segunda derivada é igual a

$$-\frac{1}{q^2}\left(\frac{dC}{dq}-\frac{C}{q}\right)+\frac{1}{q}\left(\frac{d^{2}C}{d{q}^2}-d\frac{\left(\frac{C}{q}\right)}{dq}\right)$$

onde, para o $q^{\ast }$ encontrado acima, resta somente $\frac{1}{q}\frac{d^{2}C}{d{q}^2}$, que é positivo devido aos custos variáveis. Portanto, $q^{\ast }$ trata-se de um ponto de mínimo.

Matematicamente, isso quer dizer que a curva de Custo Marginal intercepta a curva de custo médio justamente em seu ponto mínimo. O que isso quer dizer é que, no que diz respeito ao custo médio $\frac{C(q)}{q}=\frac{F}{q}+\frac{C_V(q)}{q}$, produzir $q^{\ast }$ é o máximo que se consegue produzir antes que os custos variáveis médios $\frac{C_V(q)}{q}$ sobrepujem os custos fixos médios $\frac{F}{q}$.

Tendo isso em vista, é a quantidade ótima de se produzir a fim de maximizar a Função Lucro, pois O lucro médio é máximo se, e somente se, o custo médio é mínimo.

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References

• VARIAN, Hal. Microeconomia: uma abordagem moderna. 9 ed. Elsevier, 2015.