O lucro médio é máximo se, e somente se, o custo médio é mínimo

up:: Função Lucro

Dada uma Função Custo $C(q)$, temos que a derivada do Lucro Médio é

$$\frac{d\left(\frac{\Pi }{q}\right)}{dq}=\frac{dp}{dq}-\frac{d\left(\frac{C}{q}\right)}{dq}$$

Quando essa quantidade é zero, tem-se que

$$\frac{dp}{dq}=\frac{1}{q}\frac{dC}{dq}-\frac{C}{q^2}$$

Rearranjando os termos com derivada de um lado, e tendo em vista que $\frac{d(pq)}{dq}=q\frac{dp}{dq}+p$, temos que (multiplicando tudo por $q$)

$$\left(\frac{d(pq)}{dq}-p\right)-\frac{dC}{dq}=-\frac{C}{q}$$

Multiplicando tudo por $q$¹, rearranjando os termos, temos que

$$\frac{d(pq-C)}{dq}=\frac{pq-C}{q}$$

Portanto, temos que o Lucro Marginal é igual à Lucro Médio.

Num caso em que $p$ é constante², tendo em vista que O custo médio é mínimo se, e somente se, o custo marginal é igual ao custo médio, então temos que o Custo Médio é mínimo.

Footnotes

1. E tendo em vista sempre que $q\ne 0$, o que quebraria toda a argumentação. ↩

2. Por exemplo, Competição Perfeita. ↩