Taxa Marginal de Substituição Técnica

up:: 062 MOC Microeconomia

“The number $MRT{S}_{lk}(\bar{z})$ measures the additional amount of input $k$ that must be used to keep output at level $\bar{q}=f(\bar{z})$ when the amount of input $l$ is decreased marginally.” (MWG, p. 130)

Assim como a Taxa Marginal de Substituição para o consumidor, a taxa marginal de substituição técnica trata-se do quanto um insumo muda ao se mudar a quantidade de outro — dada uma quantidade $\bar{q}$ produzida fixa.

Caso haja uma quantidade $\bar{q}$ fixa produzida a partir de certos insumos, então a variação de um insumo deverá induzir uma variação desta quantidade — a menos de uma contra-variação de outro(s) insumo(s). Caso eu reduza (marginalmente) o uso de um certo insumo, a taxa marginal de substituição técnica me diz quanto eu devo aumentar de outro insumo a fim de manter o nível de produção $\bar{q}$ intacto.

Analogamente ao caso do consumidor, e assumindo Função Produção $q=f(K,L)$ dada, temos que, quanto estamos em uma Isoquanta,

$$\begin{array}{r}dq=f_{K}dK+f_{L}dL=0\\ \therefore \frac{dK}{dL}=-\frac{f_L}{f_K}\end{array}$$

Ou seja, com uma diminuição (marginal) de força de trabalho, quanto de capital tenho de adicionar (marginalmente) para manter a produção $\bar{q}$ fixa?

Caso geral

Tendo $F$ uma Caso geral, calcula-se a taxa marginal de substituição sobre a fronteira de produção ($F(\bar{y})=0$). Variando netputs $y_i$ e $y_j$, a TMST é calculada como

$$TMS{T}_{ij}(\bar{y})=-\frac{F_i(\bar{y})}{F_j(\bar{y})}$$

onde $F_k:=\frac{\partial F}{\partial y_k}$. Formalmente,

$$\begin{array}{r}dF(\bar{y})=F_{i}d{y}_i+F_{j}d{y}_j=0\\ \therefore \frac{d{y}_j}{d{y}_i}=-\frac{F_i(\bar{y})}{F_j(\bar{y})}\end{array}$$

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References

• 5. Production Theory - MIT OpenCourseWare (Jonathan Gruber, 2018)
• MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael Dennis; GREEN, Jerry R. Microeconomic theory. New York: Oxford University Press, 1995.