Identidade de Roy

up:: 062b MOC Teoria do Consumidor

Seja $v(p,w)$ a Função de Utilidade Indireta, e $e(p,u)$ a Função Dispêndio¹. Então temos a identidade

$$v(p,e(p,\bar{u}))=\bar{u}$$

Derivando com relação a $p$, temos

$$\frac{\partial v}{\partial p}+\frac{\partial v}{\partial w}\frac{\partial e(p,\bar{u})}{\partial p}=0$$

Isolando a função dispêndio, temos que

$$\frac{\partial e}{\partial p}=-\frac{\frac{\partial v}{\partial p}}{\frac{\partial v}{\partial w}}$$

Pelo Lema de Shephard, temos que a variação do dispêndio com relação a preços descreve a Demanda Hicksiana $h(p,\bar{u})$. Portanto, temos

$$h(p,\bar{u})=-\frac{\frac{\partial v}{\partial p}}{\frac{\partial v}{\partial w}}$$

(Relembrando que $h(p,\bar{u})=x(p,e(p,\bar{u}))$, relacionando com a Demanda Walrasiana.)

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References

• Roy’s identity - Wikipedia
• MAS-COLELL, Andreu et al. Microeconomic theory. New York: Oxford university press, 1995.

Footnotes

1. Deve-se assumir também que a Relação de Preferência $⪰$ é localmente não-saciável e estritamente convexa. ↩