Equação de Slutsky

up:: 062b MOC Teoria do Consumidor

A equação de Slutsky relaciona a Demanda Walrasiana $x(p,w)$ com a Demanda Hicksiana $h(p,\bar{u})$, ao decompor os Efeito Substituição e Efeito Renda.

Dada a Renda $w$ e Utilidade $\bar{u}$, deseja-se saber a mudança da cesta ótima com relação à mudança de preços.

Versão “unidimensional”

Tem-se a identidade

$$h(p,\bar{u})=x(p,e(p,\bar{u}))$$

onde $e(p,\bar{u})$ é a Função Dispêndio. Derivando com relação a $p$, temos

$$\frac{\partial h}{\partial p}=\frac{\partial x}{\partial p}+\frac{\partial x}{\partial w}\frac{\partial e}{\partial p}$$

Como temos que A demanda hicksiana é o gradiente da função dispêndio, temos

$$\frac{\partial h}{\partial p}=\frac{\partial x}{\partial p}+\frac{\partial x}{\partial w}h(p,\bar{u})$$

Porém, pela mesma identidade acima, e sabendo que $e(p,\bar{u})=w$, temos

$$\frac{\partial h}{\partial p}=\frac{\partial x}{\partial p}+x\frac{\partial x}{\partial w}$$

Versão geral

Temos a identidade

$$h_i(p,\bar{u})=x_i(p,e(p,\bar{u}))$$

Derivando quanto ao preço $p_j$, temos

$$\frac{\partial h_i}{\partial p_j}=\frac{\partial x_i}{\partial p_j}+\frac{\partial x_i}{\partial w}\frac{\partial e}{\partial p_j}$$

Pelo mesmo motivo acima, substituímos $\frac{\partial e}{\partial p_j}$ por $x_j$, tendo

$$\frac{\partial h_i}{\partial p_j}=\frac{\partial x_i}{\partial p_j}+\frac{\partial x_i}{\partial w}{x}_j$$

Em notação matricial, podemos escrevê-lo da seguinte forma:

$$S_{ij}\equiv \frac{\partial h_i}{\partial p_j}=D_{p}x+{\nabla }_{w}x{x}^T$$

onde $D_{p}x\equiv {\left(\frac{\partial x_i}{\partial p_j}\right)}_{ij}$ é a jacobiana da demanda $x$ com relação aos preços, e ${\nabla }_{w}x{x}^T$ é um produto exterior (outer product)¹.

A matriz resultante, $S$, é a Matriz de Slutsky.

Exemplo

Seja $U(x_1,x_2)=x_1^{1/2}{x}_2^{1/2}$ Utilidade de Cobb-Douglas (a preços $p_x,p_y$). Sabe-se que as Demandas Marshallianas são

$$x_i^{\ast }=\frac{w}{2p_i}$$

A partir delas, obtém-se a Utilidade Indireta

$$v(p,w)=\frac{w}{2\sqrt{p_x{p}_y}}\left(=x_1^{\ast }\sqrt{\frac{p_x}{p_y}}=x_2^{\ast }\sqrt{\frac{p_y}{p_x}}\right)$$

Invertendo em termos de $w$, temos a Função Dispêndio

$$e(p,u)=2u\sqrt{p_x{p}_y}$$

Pela identidade que define a Demanda Hicksiana

$$h(p,u)=x^{\ast }(p,e(p,u))$$

podemos reobter $h(p,u)$:

$$\{\begin{array}{l}{h}_1(p,u)=u\sqrt{\frac{p_y}{p_x}}\\ h_2(p,u)=u\sqrt{\frac{p_x}{p_y}}\end{array}$$

Montando a equação de Slutsky para $x_1^{\ast }$ primeiro, temos

$$\frac{\partial x_1^{\ast }}{\partial p_x}=-\frac{w}{2p_x^2}$$

que é o Efeito Preço dessa demanda (efetivamente observado).

O Efeito Renda é obtido como

$$x_1^{\ast }\frac{\partial x_1^{\ast }}{\partial w}=\frac{w}{4p_x^2}$$

O Efeito Substituição é obtido como

$$\frac{\partial h_1}{\partial p_x}=-\frac{u}{2}\sqrt{\frac{p_y}{p_x^3}}$$

Tomando $u$ como sendo a utilidade indireta — ou seja, $h_1=x_1^{\ast }$ —, obtém-se

$$\frac{\partial h_1}{\partial p_x}=-\frac{x_1^{\ast }}{2p_x}=-\frac{w}{4p_x^2}$$

Somando ambos, confirma-se a identidade de Slutsky

$$\frac{\partial h_1}{\partial p_x}=\frac{\partial x_1^{\ast }}{\partial p_x}+x\frac{\partial x_1^{\ast }}{\partial w}=-\frac{1}{4}\frac{w}{p_x^2}$$

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References

• Lecture 3: Income and Substitution Effects - MIT OpenCourseWare (Robert Townsend)
• Slutsky Equation: The Derivation - YouTube
• MAS-COLELL, Andreu et al. Microeconomic theory. New York: Oxford university press, 1995.

Footnotes

1. Um exemplo em 2D basta: sejam $u=(u_1,u_2{)}^T$ e $v=(v_1,v_2{)}^T$ vetores-coluna. Então o outer product é definido como $\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)(v_1,v_2)=\left(\begin{array}{cc}{u}_1{v}_1& u_1{v}_2\\ u_2{v}_1& u_2{v}_2\end{array}\right)$. Note que os sub-índices dos vetores multiplicados contam como os índices dos respectivos vetores originais. ↩