Esquema Listas Microeconomia

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Lista 1 (062b MOC Teoria do Consumidor): Preferências do Consumidor

1. Relações de Equivalência induzida por Relações de Ordem & Equivalence Class = Curvas de Indiferença
2. Demanda Walrasiana homogênea de grau $1$ possui Elasticidade-Renda da Demanda ${ϵ}_{kw}=1$ para todo bem $k$ ←> Curvas de Engel são retas
3. Funções monotônicas preservam curvas de indiferença
4. Ordem lexicográfica (seu Jorge alcoólatra)
5. Tempo de lazer $L$ como um bem
6. Caso de relação de preferência localmente saciável: $(x_1,x_2)⪰(y_1,y_2)⟺x_1+x_2>y_1+y_2$

Lista 2 (062b MOC Teoria do Consumidor): Funções Utilidade & PMU/PMD

1. Função de Utilidade CES & Restrições a
   1. Função utilidade linear
   2. Função de Cobb-Douglas
   3. Função de Leontief
   4. Cálculo de Elasticidade de Substituição
2. Cálculos de Demanda Walrasiana (dado $w$), Demanda Hicksiana (dado $\tilde{u}$) — uso de Identidade de Roy e Lema de Shephard
   1. Utilidade quase-linear
   2. Função de Cobb-Douglas geral (cf. [[Possíveis exercícios para listas de Microeconomia#cobb-douglas-para-l-bens|Cobb-Douglas para $L$ bens]])
   3. Função de Utilidade CES — difícil! Cf. Demandas walrasianas da CES
3. Exemplo de Equação de Slutsky
   1. Talvez caso geral de Matriz de Slutsky (ao menos $2$ bens, elasticidade-cruzada $\ne 0$)

Lista 3: Indeterminação (062d MOC Loterias)

1. Utilidades esperadas e gestão de desastres
2. Exemplo de seguros — Utilidade de Bernoulli
   1. Equivalente Certo & Prêmio de Risco
3. Casos de Coeficiente de Arrow-Pratt e Coeficiente de Aversão Relativa ao Risco
   1. $\tilde{u}(w)=\ln w$ — convexo/Avesso ao Risco (${\tilde{u}}^{\prime \prime }<0$)
   2. Exemplo de utilidade risk-loving?
   3. Função utilidade CARA / Função utilidade CRRA?

Lista 4: Comportamental & 062c MOC Teoria da Firma

2. Desconto Exponencial e coerência dinâmica
3. Desconto Hiperbólico e possibilidade de inversão de preferências intertemporalmente
4. Utilidade Fehr-Schmidt…? $U_i={\pi }_i-{\delta }_i\max ({\pi }_j-{\pi }_i,0)-{\alpha }_i\max ({\pi }_i-{\pi }_j,0)$
5. Função Produção $F$ com Retornos de Escala não-decrescentes $⟹$ Função Lucro é $\le 0$ (produção inviável) ou $\to \infty$ (produção extrema)
   1. (Cf. Slide 8:41) Em regimes de produção baixa, $F$ tem retornos de escala “menos decrescentes”, induzindo produção mais acelerada do que em níveis maiores (REs mais decrescentes) — parece análogo ao crescimento populacional parecer geométrico em regimes em que população é muito menor que carrying capacity $K$, e que desacelera quando está na mesma ordem que $K$
6. $F$ homogênea de grau $1$ $⟺$ Retornos de Escala constantes
   1. Analogia com Utilidade homogênea de grau $1$ $⟺$ Curva de Engel constante

Lista 5: 062c MOC Teoria da Firma

1. “Consumidor da própria firma”
2. Casos Sunk Cost
3. Maximização de Lucro / Minimização de Custos
   1. Produção Cobb-Douglas

Lista 6: Equilíbrio Parcial & Equilíbrio Geral 062e MOC Teoria do Bem-Estar

1. Ótimo de Pareto & Equilíbrio Walrasiano (ou Marshalliano)
2. Exemplo de Perda de Peso Morto (deadweight loss) — cf. Discussão Posterior
3. Exemplos de Caixa de Edgeworth
4. Falhas de Mercado
   1. Externalidades

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Lista 1 nova

Exercício 1.1

Demonstre que, a partir de uma relação de ordem $⪰$ em um espaço $X$, é possível definir uma relação $\sim$ que

$$\forall x,y\in X:x\sim y⟺(x⪰y)\text{ \& }(y⪰x)$$

(Tradução: “Para todo $x$ e $y$ pertencentes a $X$¹, vale que $x\sim y$ se, e somente se, valer que $x⪰y$ e também $y⪰x$.)

Essa relação $\sim$ satisfaz as propriedades:

1. Reflexividade: $\forall x\in X,x\sim x$
2. Comutatividade: $\forall x,y\in X,x\sim y⟺y\sim x$
3. Transitividade: $\forall x,y,z\in X,x\sim y\wedge y\sim z⟹x\sim z$

Por satisfazer estas propriedades, $\sim$ é dita uma relação de equivalência.²

Exercício 1.2

Dada uma relação de equivalência $\sim$ sobre algum conjunto (não-vazio) $X$, então, para cada $x\in X$, define-se sua classe de equivalência $[x]$ como

$$[x]:=\{y\in X:y\sim x\}$$

Ou seja, é o conjunto de elementos em $X$ que são equivalentes (sob $\sim$) a $x$ (note que $x\in [x]$).

Demonstre que classes de equivalência são disjuntas: se há algum elemento em comum entre duas classes de equivalência $[x]$ e $[y]$, então elas são a mesma classe de equivalência. Dito de outra forma: se $x\nsim y$ (ou seja, que não seja verdade que $x\sim y$), então não haverá interseção entre suas classes de equivalência, e, portanto $[x]\ne [y]$.

A importância deste exercício é que, dada uma relação de preferência racional $⪰$ sobre algum espaço de cestas de bens $X$, é possível definir uma relação de equivalência $\sim$ — uma “relação de indiferença” entre cestas de $X$. As curvas de indiferença são, portanto, classes de equivalência sob esta relação de equivalência induzida por esta preferência. Segue do resultado acima, portanto, que curvas de indiferença diferentes não se cruzam!

Exercício 1.3

Uma função monotônica $f:(X,{⪰}_X)\to (Y,{⪰}_Y)$ é definida como uma função que preserva relações de ordem. Ou seja, se temos $x{⪰}_{X}y$ em $X$, então $f(x){⪰}_{Y}f(y)$ em $Y$. Em matematiquês:

$$\forall x,y\in X:x{⪰}_{X}y⟹f(x){⪰}_{Y}f(y)$$

Mostre que relações de equivalência (induzidas por alguma relação de ordem) são também preservadas por $f$: se $x\sim y$, então $f(x)\sim f(y)$.

Isso quer dizer que, embora “os valores mudem” por conta da função $f$, o formato das curvas de indiferença permanecem os mesmos.

Obs: É comum se dizer que funções monotônicas são “funções não-decrescentes”, e que funções estritamente monotônicas são “funções estritamente crescentes”. Isso, porém, segue da definição de acima³: funções monotônicas em geral preservam $⪰$ — pode ser, por exemplo, que $x{\succ }_{X}y$ e $\mathbf{x}{\nsim }_{\mathbf{X}}\mathbf{y}$, mas $f(x){⪰}_{Y}f(y)$, ou até $f(x){\sim }_{Y}f(y)$ — e, portanto, são “não-decrescentes”; funções estritamente monotônicas preservam somente $\succ$ — se $x{\succ }_{X}y$, então garante-se que $f(x){\succ }_{Y}f(y)$ — e, portanto, são funções estritamente crescentes.

Exercício 1.4: 1.6 antiga (ordem saciável em ${\mathbb{R}}^2$)

Exercício 1.5:

Exercício 1.5: exercício 1.3 da lista antiga (homogeneidade grau 1 e curva de Engel)

Lista 2 nova

Lista 3 nova

Lista 4 nova

Lista 5 nova

Lista 6 nova

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Referências

Footnotes

1. Note que $\forall$ é um “A” invertido, que em inglês se lê “for all”. ↩

2. Note que a relação de igualdade $x=y$ satisfaz essas propriedades. Relações de equivalência são mais gerais, e menos restritivas, do que relações de igualdade. ↩

3. Usualmente também assume-se que o domínio da função $f$ seja totalmente ordenado, que é o caso de $\mathbb{R}$: todos os elementos são comparáveis entre si sob a relação de ordem. Mas isso é mero pedantismo: se dois elementos $x,y\in X$ não fossem comparáveis sob relação de ordem, então não haveria nada para ser preservado por $f$, e tudo se passaria como se nada tivesse se passado! ↩