Coeficiente de Arrow-Pratt

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Dada uma Utilidade de Bernoulli duplamente diferenciável, o coeficiente de Arrow-Pratt, de aversão absoluta ao risco, é definido como

Essa definição não é meramente , pois tal medida não seria invariante a transformações lineares da função utilidade.

O sinal negativo é por convenção: é positivo para agentes avessos ao risco, para neutros ao risco, e negativo para amantes ao risco.

Este coeficiente se trata de aversão absoluta ao risco, ou seja, trata-se de desvios em valor absoluto de uma dada riqueza inicial . Há também o Coeficiente de Aversão Relativa ao Risco, que se trata de desvios percentuais de dada riqueza .

Relação com “Prêmio de Risco”

Dada uma riqueza , analisando o Probability Premium , denote-se . Analisamos sua variação conforme . A definição de prêmio de risco é

Derivando uma vez com relação a , segue

Derivando de novo com relação a , segue

Tomando o limite , temos

do qual vem

Equivalência com Equivalente Certo

Supondo uma loteria , para uma dada riqueza e uma variação .

O Equivalente Certo para esta loteria satisfaz

A primeira derivada com relação a traz (usando )

A segunda derivada traz

Tomando , temos

Note-se que , pois não há variação ao redor de . Portanto,

Isolando , temos

Porém, tomando a equação da primeira derivada com , tem-se

Portanto,

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References

• MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael Dennis; GREEN, Jerry R. Microeconomic theory. New York: Oxford University Press, 1995.