Coeficiente de Arrow-Pratt

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Dada uma Utilidade de Bernoulli $u(\cdot )$ duplamente diferenciável, o coeficiente de Arrow-Pratt, de aversão absoluta ao risco, é definido como

$$r_A(x):=-\frac{u^{\prime \prime }(x)}{u^{\prime }(x)}$$

Essa definição não é meramente $u^{\prime \prime }(x)$, pois tal medida não seria invariante a transformações lineares da função utilidade.

O sinal negativo é por convenção: $r_A$ é positivo para agentes avessos ao risco, $0$ para neutros ao risco, e negativo para amantes ao risco.

Relação com Prêmio de Risco

Dada uma riqueza $x$, analisando o Prêmio de Risco $\pi (x,ϵ,u)$, denote-se $\pi (ϵ):=\pi (x,ϵ,u)$. Analisamos sua variação conforme $ϵ\to 0$. A definição de prêmio de risco é

$$u(x)=\left(\frac{1}{2}+\pi (ϵ)\right)u(x+ϵ)+\left(\frac{1}{2}-\pi (ϵ)\right)u(x-ϵ)$$

Derivando uma vez com relação a $ϵ$, segue

$$0={\pi }^{\prime }(ϵ)u(x+ϵ)+\left(\frac{1}{2}+\pi (ϵ)\right)u^{\prime }(x+ϵ)-{\pi }^{\prime }(ϵ)u(x-ϵ)-\left(\frac{1}{2}-\pi (ϵ)\right)u^{\prime }(x-ϵ)$$

Derivando de novo com relação a $ϵ$, segue

$$\begin{array}{rl}0=& {\pi }^{\prime \prime }(ϵ)u(x+ϵ)+{\pi }^{\prime }(ϵ)u^{\prime }(x+ϵ)+{\pi }^{\prime }(ϵ)u^{\prime }(x+ϵ)+\left(\frac{1}{2}+\pi (ϵ)\right)u^{\prime \prime }(x+ϵ)\\ & -{\pi }^{\prime \prime }(ϵ)u(x-ϵ)+{\pi }^{\prime }(ϵ)u^{\prime }(x-ϵ)+{\pi }^{\prime }(ϵ)u^{\prime }(x-ϵ)+\left(\frac{1}{2}-\pi (ϵ)\right)u^{\prime \prime }(x-ϵ)\end{array}$$

Tomando o limite $ϵ\to 0$, temos

$$\begin{array}{rl}0=& \cancel{{\pi }^{\prime \prime }(0)u(x)}+{\pi }^{\prime }(0)u^{\prime }(x)+{\pi }^{\prime }(0)u^{\prime }(x)+\left(\frac{1}{2}+\cancel{\pi (0)}\right)u^{\prime \prime }(x)\\ & -\cancel{{\pi }^{\prime \prime }(0)u(x)}+{\pi }^{\prime }(0)u^{\prime }(x)+{\pi }^{\prime }(0)u^{\prime }(x)+\left(\frac{1}{2}-\cancel{\pi (0)}\right)u^{\prime \prime }(x)\end{array}$$

do qual vem

$$\begin{array}{r}4{\pi }^{\prime }(0)u^{\prime }(x)+u^{\prime \prime }(x)=0\\ \therefore r_A(x)=4{\pi }^{\prime }(0)\end{array}$$

Equivalência com Equivalente Certo

Supondo uma loteria $L=(x+ϵ,x-ϵ;\frac{1}{2},\frac{1}{2})$, para uma dada riqueza $x$ e uma variação $ϵ$.

O Equivalente Certo $c(L,u)=:c(ϵ)$ para esta loteria $L$ satisfaz

$$u(c(ϵ))=\frac{1}{2}u(x+ϵ)+\frac{1}{2}u(x-ϵ)$$

A primeira derivada com relação a $ϵ$ traz (usando $c:=c(ϵ)$)

$$u^{\prime }(c)c^{\prime }=\frac{1}{2}{u}^{\prime }(x+ϵ)-\frac{1}{2}{u}^{\prime }(x-ϵ)$$

A segunda derivada traz

$$u^{\prime \prime }(c)(c^{\prime }{)}^2+u^{\prime }(c)c^{\prime \prime }=\frac{1}{2}(u^{\prime \prime }(x+ϵ)+u^{\prime \prime }(x-ϵ))$$

Tomando $ϵ\to 0$, temos

$$u^{\prime \prime }(c(0))(c^{\prime }(0){)}^2+u^{\prime }(c(0))c^{\prime \prime }(0)=u^{\prime \prime }(x)$$

Note-se que $c(0)=x$, pois não há variação ao redor de $x$. Portanto,

$$u^{\prime \prime }(x)(c^{\prime }(0){)}^2+u^{\prime }(x)c^{\prime \prime }(0)=u^{\prime \prime }(x)$$

Isolando $c^{\prime \prime }(0)$, temos

$$c^{\prime \prime }(0)=\frac{u^{\prime \prime }(x)}{u^{\prime }(x)}(1-(c^{\prime }(0){)}^2)$$

Porém, tomando a equação da primeira derivada com $ϵ\to 0$, tem-se

$$c^{\prime }(0)=0$$

Portanto,

$$\therefore c^{\prime \prime }(0)=\frac{u^{\prime \prime }(x)}{u^{\prime }(x)}=-r_A(x)$$

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References

• MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael Dennis; GREEN, Jerry R. Microeconomic theory. New York: Oxford University Press, 1995.