Aversão ao Risco

up:: 062c MOC Loterias

Fonte: MAS-COLELL et al., p. 186.

Para um agente que possua uma Utilidade de Bernoulli $u(\cdot )$ — portanto, Utilidade de von Neumann-Morgenstern associada $U$ sobre funções cumulativas de distribuição —, ele é avesso ao risco se, para qualquer “Loteria”¹ $F$,

$$\forall F\in \mathcal{L}:U(F)=\int u(x)dF(x)\le u\left(\int xdF(x)\right)=u({\mathbb{E}}_F[X])$$

Ou seja, sua utilidade esperada distribuída pelas probabilidades da loteria $F$ são menos preferíveis do que o recebimento certo do valor $\int xdF(x)=\mathbb{E}[F]$, que é o valor esperado da distribuição $F$.

Relação com Desigualdade de Jensen

Isso não é mais do que a desigualdade de Jensen. Tomando em foco a função de Bernoulli $u(\cdot )$, temos que

$$U(F)={\mathbb{E}}_F[u]$$

(Ou seja, a utilidade $U$ da loteria $F$ é o valor esperado da utilidade de Bernoulli $u$ com relação à $F$.)

Pela desigualdade de Jensen, temos que — se $u(\cdot )$ for côncava —,

$${\mathbb{E}}_F[u(X)]\le u({\mathbb{E}}_F(X))$$

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References

• MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael Dennis; GREEN, Jerry R. Microeconomic theory. New York: Oxford University Press, 1995.

Footnotes

1. Na verdade, sobre distribuições cumulativas de probabilidade $F$. ↩