Loteria (Microeconomia)

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Uma loteria (em Microeconomia) é um vetor de probabilidades — i.e. um vetor em um $(n-1)$-simplexo — $(p_1,\dots ,p_n)$, onde $p_k$ é a probabilidade de que algum evento $k$ ocorra.

É possível também fazer uma loteria composta (uma loteria de loterias): ela é um “vetor de vetores”

$$L=(L_1,\dots ,L_n;{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$$

onde ${\alpha }_k$ é a probabilidade de que a loteria $L_k$ ($p_k^{(1)},\dots ,p_k^{(n)}$) ocorra.

Como a combinação convexa associada a uma loteria composta, $\sum {\alpha }_k{L}_k$, também está no simplexo, podemos escrevê-la como alguma loteria per se: sua loteria reduzida. Ou seja, uma loteria reduzida $(\tilde{L},{\tilde{p}}_1,\dots ,{\tilde{p}}_n)$é simplesmente abrir as respectivas $L_k$ em suas componentes:

$${\tilde{p}}_k=\sum _l{\alpha }_l{p}_k^{(l)}$$

Vetorialmente:

$$\tilde{p}={\alpha }_1\left(\begin{array}{c}{p}_1^{(1)}\\ p_1^{(2)}\\ ⋮\\ p_1^{(n)}\end{array}\right)+\cdots +{\alpha }_k\left(\begin{array}{c}{p}_k^{(1)}\\ p_k^2\\ ⋮\\ p_k^{(n)}\end{array}\right)$$

Lembrando que, como estamos em um $(n-1)$-simplexo ($n$ resultados possíveis), esta loteria reduzida possui $n$ probabilidades — mesmo que ela seja uma combinação convexa de $k\ne n$ loterias!¹

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References

• MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael Dennis; GREEN, Jerry R. Microeconomic theory. New York: Oxford University Press, 1995.

Footnotes

1. Inclusive, toda loteria composta é resultado de infinitas possíveis combinações convexas! ↩