Lista 4 Microeconomia - 1.2026

up:: 0x5 MOC Mestrado

Exercícios

::: exercise
Mostre que o Equivalente Certo de uma função utilidade exponencial $u(x)=-e^{-ax}$ assume a forma de uma média harmônica ponderada, ao se escrever $x_i=\ln \frac{\widetilde{x_i}}{a}$:

$$C(L,a)=\frac{1}{a}\ln \left(\frac{1}{\sum _i{p}_i{x}_i^{-1}}\right)$$

:::

2. Mostre que o equivalente certo de uma função utilidade isoelástica $u(x)=\frac{x^{1-\rho }-1}{1-\rho }$ assume a forma de uma $(1-\rho )$-norma ponderada, i.e. $$C(L,\rho )={\left(\sum _i{p}_i{x}_i^{1-\rho }\right)}^{1/(1-\rho )}$$

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial x^{1-\rho }}{\partial \rho }& =\\ & =\frac{\partial }{\partial \rho }{e}^{\ln (x^{1-\rho })}\\ & =\frac{\partial }{\partial \rho }{e}^{(1-\rho )\ln x}\\ & =\frac{\partial }{\partial \rho }{e}^{-\rho \ln x}\\ & =-\ln x{e}^{-\rho \ln x}\\ & =-\ln x{e}^{\ln x^{-\rho }}\\ & =\ln x{x}^{-\rho }\end{array}$$

Resoluções