ANPEC Microeconomia 01 2024

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Cálculos Preliminares

Tem-se que o Custo Marginal $\frac{dC}{dq}$ de ambas as firmas é igual a 32, e o custo fixo é igual a 10. Portanto, a Função Custo de ambas as empresas possui a forma

$$C(q_i)=10+32q_i$$

onde $i$ indica a firma $i$. Tem-se que $Q=q_V+q_P$ (empresa Verão e empresa Praia).

Essa questão se trata sobre Monopólios e sobre firmas agindo em conluio, dividindo equitativamente a produção.

Item 0: Falso

Se elas decidem agir em conluio e dividem o mercado equitativamente entre si, então $q_i=\frac{Q}{2}$.

A Função Lucro de cada firma é

$$\begin{array}{rl}{\pi }_i(q_i)& =q_{i}P(q_i+q_{-i})-C(q_i)\\ & =q_i(64-4(\underset{q_{-i}=q_i}{\underbrace{q_i+q_i}})-10-32q_i\\ & =64q_i-8q_i^2-10-32q_i\end{array}$$

Como A produção ótima ocorre quando o lucro marginal é 0, ao zerar o Lucro Marginal, temos

$$\begin{array}{rl}\frac{d{\pi }_i}{d{q}_i}=64-16q_i-32& =0\\ \therefore q_i^{\ast }& =2\end{array}$$

Item 1: Verdadeiro

O lucro obtido por cada firma é igual, posto que o preço e as quantidades o são. Portanto,

$$\begin{array}{rl}{\pi }_i(q_i^{\ast }=2)& =64q_i^{\ast }-8q_i^{\ast 2}-10-32q_i^{\ast }\\ & =64(2-1)-32-10\\ & =64-42\\ & =22\end{array}$$

Item 2: Verdadeiro

Supondo que a empresa Praia produza $3$ unidades, enquanto a empresa Verão produz $2$, temos

$$\begin{array}{rl}{\pi }_P(q_P=3\mid q_V=2)& =q_V(64-4(q_V+q_P))-10-32q_V\\ & =3(32\cdot 2-4\cdot 5)-10-32\cdot 3\\ & =32\cdot 3(2-1)-60-10\\ & =96-70\\ & =26\\ & >{\pi }_P(q_P=q_V=2)\end{array}$$

Portanto, há incentivo para burlar o conluio e produzir mais.

Item 3: Falso

O outro lado dessa quebra de conluio é o lucro da empresa Verão:

$$\begin{array}{rl}{\pi }_V(q_V=2\mid q_P=3)& =2(32\cdot 2-4\cdot 5)-10-32\cdot 2\\ & =32\cdot 2(2-1)-40-10\\ & =64-50\\ & =14\\ & \ne 18\end{array}$$

Item 4: Verdadeiro

Se ambas produzem $3$ unidades, o preço de mercado será

$$P(6)=64-4\cdot 6=\$40$$

Portanto, o lucro de ambas, sob conluio, é

$$\begin{array}{rl}{\pi }_i(3)& =3\cdot 40-10-32\cdot 3\\ & =120-10-96\\ & =14\end{array}$$

Caso a empresa Praia produza $4$ unidades e Verão produza $3$, temos

$$\begin{array}{rl}{\pi }_P(q_P=4\mid q_V=3)& =4\cdot (64-4\cdot (4+3))-10-32\cdot 4\\ & =4\cdot 36-10-32\cdot 4\\ & =4\cdot (36-32)-10\\ & =16-10\\ & =6\\ & <{\pi }_P(q_P=q_V=3)\end{array}$$

Portanto, não há incentivo de produzir $4$ (ou mais) unidades quando o outro produz $3$.

Análise a posteriori

Há uma espécie de Dilema do Prisioneiro aqui: a melhor escolha de conluio é de que ambos produzam $2$ unidades, pois terão o maior lucro num cenário de monopólio compartilhado; ele é, porém, um “equilíbrio instável”, posto que há um incentivo a desviar dessa colaboração e produzir mais para si próprio, em detrimento da outra parte.

Note que sequer é um Jogo de Soma Zero, pois o lucro total com $q_i^{\ast }=2$ é de \44$,enquantonocasodedesvio$3/2$\acute{e}de$$26 + $14 = $40$.Comoasfirmass\tilde{a}oindistingu\acute{ı}veisentresi,devido\grave{a}equival\hat{e}nciaformaldesuasfun\stackrel{\backslash c}{c}\tilde{o}escusto,o\acute{o}ptimodelucro\ast total\ast \acute{e}oobtidonoitem$0$,dequeambasproduzam$2$unidadescada,i.e.queomercadoproduza$Q=4$unidades.Ouseja,aprodu\stackrel{\backslash c}{c}\tilde{a}ode$Q>4$ unidades não será ótima, tendo lucro total decrescente (“diminishing returns”).