ANPEC Macroeconomia 06 2024

up:: 061a MOC ANPEC Macroeconomia

Esta é uma questão de endógena.

Preliminares

Como temos uma Função de Cobb-Douglas de produção, temos que o produto per capita tem a forma

$$\begin{array}{rl}{y}_t& =\frac{Y_t}{L_t}={\left(\frac{K_t}{L_t}\right)}^{\alpha }\\ & =k_t^{\alpha }\end{array}$$

A equação da dinâmica de acumulação de capital é

$$K_{t+1}=I_t+(1-\delta )K_t$$

Tem-se por hipótese que

$$I_t=s{Y}_t$$

portanto, tem-se que o capital acumula-se conforme

$$K_{t+1}=s{Y}_t+(1-\delta )K_t$$

A dinâmica de capital per capita é da forma

$$\begin{array}{rl}{k}_{t+1}& =s\frac{Y_t}{L_t}\frac{L_t}{L_{t+1}}+(1-\delta )\frac{K_t}{L_t}\frac{L_t}{L_{t+1}}\\ & \approx s{y}_t(1-n)+(1-\delta )(1-n)k_t\\ & \\ & \approx s{y}_t+(1-\delta -n)k_t\\ \therefore k_{t+1}-k_t& \approx s{y}_t-(\delta +n)k_t\end{array}$$

O estado estacionário de capital per capita é, portanto,

$$k^{\ast }=\frac{s}{\delta +n}{y}^{\ast }$$

Como temos que $y=k^{\alpha }$, temos que

$$k^{\ast }={\left(\frac{s}{\delta +n}\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}$$

O produto per capita é, portanto,

$$y^{\ast }={\left(\frac{s}{\delta +n}\right)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}$$

O investimento per capita é igual à depreciação “efetiva” de capital

$$\begin{array}{r}{i}^{\ast }=(\delta +n)k^{\ast }\end{array}$$

(Ou seja, o investimento serve para repor a depreciação de capital, tanto material quanto para atender ao crescimento $n$ da força de trabalho que o emprega.)

Finalmente, o consumo per capita é

$$c^{\ast }=(1-s)y^{\ast }=(1-s){\left(\frac{s}{\delta +n}\right)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}$$

Item 0: ??? (Falso)

Item 1: Falso

O produto por trabalhador no estado estacionário é

$$y^{\ast }={\left(\frac{s}{\delta +n}\right)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}$$

Ou seja, depende da taxa de poupança $s$ e da taxa de crescimento da força de trabalho $n$. Há uma relação entre salários e taxa de poupança: conforme os salários aumentam, a taxa de poupança aumenta também, pois as necessidades conseguem ser satisfeitas sem dispêndio integral do salário. Portanto, há uma dependência dos salários quanto ao produto estacionário, e isso é intuitivo: níveis maiores de salário demandam maior produção (ceteris paribus).

Fugindo da questão: conforme $n$ aumenta, o salário diminui, pois o Exército Industrial de Reserva (Sobrepopulação Relativa) é maior.

Item 2: Verdadeiro

No estado estacionário, temos que o produto per capita tende a uma constante de equilíbrio $y^{\ast }$, portanto não varia. O produto em si varia, pois

$$\begin{array}{rl}\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{Y_{t+1}-Y_t}{Y_t}& =\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{y_{t+1}{L}_{t+1}}{y_t{L}_t}-1\\ & =\frac{L_{t+1}}{L_t}-1\\ & =n\end{array}$$

Ou seja, para que o produto per capita $y$ se mantenha constante, é preciso que o produto $Y$ cresça na mesma proporção que $L$.

Item 3: Falso

Estaria correto se fosse

“Quanto maior for a taxa de poupança, maior será a taxa de crescimento do o capital por
trabalhador no estado estacionário.”

Isso, pois o capital por capita tende a uma constante $k^{\ast }$ tal que¹

$$k^{\ast }={\left(\frac{sA}{\delta +n}\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}$$

Ou seja, o nível $k^{\ast }$ de capital per capita muda conforme muda a taxa de poupança $s$, mas este nível é estacionário para uma taxa de poupança $s$ dada. Formalmente,

$$\underset{t\to \infty }{\lim }(k_{t+1}-k_t)=0⟺\underset{t\to \infty }{\lim }{k}_t=k^{\ast }$$

Item 4: Falso

Em curto prazo, tem-se que o consumo segue a forma

$$c_t=(1-s)y_t$$

Ou seja, aumentar a taxa de poupança diminui o percentual de produto per capita que é consumido (per capita) a curto prazo.

A longo prazo, temos que

$$c^{\ast }=(1-s)y^{\ast }=(1-s)f(k^{\ast })$$

Como temos que o capital per capita é

$$k^{\ast }={\left(\frac{s}{\delta +n}\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}$$

temos que o consumo per capita será

$$c^{\ast }=(1-s){\left(\frac{s}{\delta +n}\right)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}$$

Essa é uma questão sobre a “regra dourada” do modelo de Solow: existe uma taxa de poupança $s_{max}$ que maximiza o consumo per capita. Ou seja, no longo prazo, pode ser que $s$ esteja abaixo desta taxa $s_{max}$ – em cujo caso o consumo vai aumentar com um aumento marginal de $s$ –, e pode ser o caso que $s$ esteja acima desta taxa – em cujo caso o consumo diminui com um aumento marginal de $s$.

---

References

• Solow Growth Model - YouTube

Footnotes

1. No caso, temos nível tecnológico $A=1$. ↩