Modelo de Solow

up:: 061 MOC Macroeconomia

Fonte: Noahpinion.

O modelo de Solow é um modelo sobre o crescimento econômico lato sensu de uma economia.

Definição matemática

Dada uma Função Produção $Y=f(K,L)$ que descreve o Produto Agregado em termos do Capital $K$ e da Força de Trabalho $L$, supõe-se que ela tenha retornos constantes em escala:

$$f(\alpha K,\alpha L)=\alpha f(K,L)$$

Ou seja, supõe-se que a economia seja desenvolvida o suficiente para conseguir um retorno proporcional ao capital a mais investido na produção.

Além disso, empregam-se as seguintes equações dinâmicas:

$$\{\begin{array}{l}{K}_{t+1}=I_t+(1-\delta )K_t\\ I_t=s{Y}_t\\ C_t=Y_t-I_t=(1-s)Y_t\end{array}$$

onde $0<\delta <1$ é a taxa de Depreciação, $I_t$ é o Investimento no tempo $t$ e $s$ é a taxa de Poupança.

Além disso, podemos supor que

$$Y=Af(K,L)$$

onde $A\in \mathbb{R}$ representa o nível de tecnologia da economia¹.

Modelo de Solow com Força de Trabalho constante/exógena

Supondo $L$ constante, podemos trabalhar com as variáveis per capita:

$$\{\begin{array}{l}{k}_t=\frac{K_t}{L}\\ y_t=\frac{Y_t}{L}=f\left(\frac{K_t}{L}\right)=f(k_t)\\ i_t=\frac{I_t}{L}\\ c_t=\frac{C_t}{L}\end{array}$$

Analisando o crescimento de capital per capita, temos

$$\begin{array}{rl}{k}_{t+1}-k_t& =i_t-\delta k_t\\ \therefore \frac{k_{t+1}-k_t}{k_t}& =\frac{i_t}{k_t}-\delta \end{array}$$

Como temos que $i_t=s{y}_t$, temos

$$g(k)=\frac{k_{t+1}-k_t}{k_t}=s\frac{y_t}{k_t}-\delta$$

onde $g(k)$ é o crescimento (growth) percentual de $k$ no tempo $t$.

Steady states

Buscando um estado estável neste modelo, fazemos $g(k)=0$. Disso temos²

$$\{\begin{array}{ll}{y}^{\ast }& =\frac{\delta }{s}{k}^{\ast }\\ i^{\ast }& =\delta k^{\ast }\\ c^{\ast }& =\frac{1-s}{s}\delta k^{\ast }\end{array}$$

que são as variáveis de equilíbrio per capita. Note-se que, como $L$ é exógeno, as variáveis base também alcançarão um equilíbrio (só multiplicar as respectivas variáveis per capita por $L$).

Ou seja, note-se que

• mudanças permanentes na poupança têm efeitos diretamente proporcionais em todas variáveis – menos no consumo
• mudanças permanentes no nível tecnológico têm efeitos diretamente proporcionais em todas variáveis
• mudanças permanentes na depreciação têm efeitos inversamente proporcionais em todas variáveis

O Consumo, em particular, é afetado inversamente pela poupança do que os investimentos são. Portanto, precisa ser considerado diferentemente. Busquemos então algum $\bar{s}$ que maximize o consumo de equilíbrio. Isso é equivalente a buscar o máximo consumo no tocante ao capital de equilíbrio:

$$\begin{array}{r}{c}^{\ast }=y^{\ast }-i^{\ast }=f(k^{\ast })-\delta k^{\ast }\\ \therefore \frac{d{c}^{\ast }}{d{k}^{\ast }}=0⟹\frac{\partial f}{\partial k}(k^{\ast })=\delta \end{array}$$

Este ponto é um máximo, devido à hipótese que a função de produção possui retornos marginais decrescentes, i.e.

$$\frac{{\partial }^{2}f}{{\partial }^{2}k}<0$$

Portanto, através do investimento, temos que

$$\begin{array}{rl}{i}^{\ast }& =\delta k^{\ast }=\frac{\partial f}{\partial k}(k^{\ast })\\ & =\bar{s}{y}^{\ast }=\bar{s}f(k^{\ast })\\ \therefore \bar{s}& =\frac{\delta k^{\ast }}{f(k^{\ast })}\\ & =\frac{\partial f}{\partial k}(k^{\ast })\frac{k^{\ast }}{f(k^{\ast })}\end{array}$$

é a taxa de poupança necessária para maximizar o consumo. Essa é a chamada regra de ouro do modelo de Solow.

Equilíbrio com produção Cobb-Douglas

Supondo, por exemplo, uma Função de Cobb-Douglas de produção, temos

$$\begin{array}{rl}{Y}_t& =A{K}_t^{\alpha }{L}^{1-\alpha }\\ y_t& =\frac{Y_t}{L}=A{k}_t^{\alpha }\end{array}$$

Dessa forma, teríamos

$$\{\begin{array}{ll}{k}^{\ast }& ={\left(\frac{sA}{\delta }\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}\\ y^{\ast }& ={\left(\frac{s}{\alpha }\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}{A}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}\\ i^{\ast }& ={\left(\frac{1}{\delta }\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}(sA{)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}\\ c^{\ast }& =(1-s){\left(\frac{s}{\alpha }\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}{A}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}\end{array}$$

Modelo de Solow com Força de Trabalho variável/endógena

Supomos, além das equações prévias, uma equação dinâmica da variável $L_t$:

$$L_t=(1+n)L_{t-1}=(1+n{)}^t{L}_0$$

onde $n$ é a taxa de crescimento da força de trabalho (exógena). Note-se que isso é equivalente a dizer que

$$\frac{L_{t+1}}{L_t}=1+n$$

As variáveis per capita agora são baseadas em $L_t$:

$$\{\begin{array}{l}{k}_t=\frac{K_t}{L_t}\\ y_t=\frac{Y_t}{L_t}=f\left(\frac{K_t}{L_t}\right)=f(k_t)\\ i_t=\frac{I_t}{L_t}\\ c_t=\frac{C_t}{L_t}\end{array}$$

Note-se que o crescimento do capital per capita muda:

$$\begin{array}{rl}{k}_{t+1}& =\frac{K_{t+1}}{L_{t+1}}=\frac{I_t}{L_{t+1}}\frac{L_t}{L_t}+(1-\delta )\frac{K_t}{L_{t+1}}\frac{L_t}{L_t}\\ & =i_t\frac{1}{1+n}+\frac{1-\delta }{1+n}{k}_t\\ & \approx i_t(1-n)+(1-\delta -n)k_t\end{array}$$

onde usa-se a aproximação³ $(1+x{)}^n\approx 1+nx$, e aproximações de primeira ordem em $\delta ,n$⁴.

Fazendo $i_t=s{y}_t$, temos⁵

$$k_{t+1}-k_t\approx s{y}_t-(\delta +n)k_t$$

Steady states

No equilíbrio, o capital per capita é constante. Disso obtemos

$$\{\begin{array}{ll}{y}^{\ast }& =\frac{\delta +n}{s}{k}^{\ast }\\ i^{\ast }& =(\delta +n)k^{\ast }\\ c^{\ast }& =\frac{1-s}{s}(\delta +n)k^{\ast }\end{array}$$

A regra de ouro tem como taxa de poupança ótima

$$\bar{s}=(\delta +n)\frac{k^{\ast }}{f(k^{\ast })}$$

Crescimento de variáveis base

Enquanto as variáveis per capita chegam a um equilíbrio, as variáveis base têm crescimento não-nulo. Note-se que $L$ está crescendo geometricamente: o capital per capita chega a uma constante, pois o capital em si passa a crescer na mesma taxa que a taxa de crescimento da força de trabalho. Matematicamente:

$$\begin{array}{rl}\frac{K_{t+1}-K_t}{K_t}& =\frac{I_t}{K_t}\frac{L_t}{L_t}-\delta \\ & =\frac{i_t}{k_t}-\delta \\ \therefore \underset{t\to \infty }{\lim }g(K)=\frac{i^{\ast }}{k^{\ast }}-\delta =n& \end{array}$$

Para todas as variáveis que chegam a um equilíbrio per capita, temos que elas crescerão na proporção da força de trabalho em suas variáveis base: seja $X$ uma variável cujo per capita $x$ chega a um equilíbrio $x^{\ast }$ conforme $t\to \infty$. Então temos

$$\begin{array}{rl}\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{X_{t+1}-X_t}{X_t}& =\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_{t+1}{L}_{t+1}}{x_t{L}_t}-1\\ & =\frac{\cancel{x^{\ast }}}{\cancel{x^{\ast }}}(1+n)-1\\ & =n\end{array}$$

Ou seja, neste modelo, o crescimento econômico em geral cresce na mesma proporção que o aumento da força de trabalho. Este é o chamado “caminho de crescimento sustentado” (balanced growth path).

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References

• Solow Growth Model - YouTube
• What the Solow Model can teach us about China (Noahpinion)
• solow_SL.pdf
• macroeconomics - Three types of Neutral technological Change - Economics Stack Exchange

Footnotes

1. Supondo que a função produção tenha retornos constantes em escala, esse $A$ sai como fator de ambos $K$ e $L$, sendo uma nível tecnológico médio geral da economia. ↩

2. Note-se que, neste estado de equilíbrio, temos que o investimento é exatamente igual à depreciação, nem mais, nem menos. Quando se chega a este estado, investir mais acaba sendo detrimental, devido à força de trabalho constante “ficar para trás”. ↩

3. Quando $|x|\ll 1$, mas duvido que economistas tenham isso em mente. ↩

4. I.e. desconsiderando termos ${\delta }^2,n^2,n\delta$ etc. De novo, isso vale quando $|\delta |,|n|\ll 1$, e, de novo, vide acima. ↩

5. De novo, assumindo $|s|\ll 1$, ou ao menos que $|sn|\ll 1$. ↩