Pragmatismo de Lógica de Primeira Ordem

Pragmatismo em Lógica de Primeira Ordem

Em Lógica de Primeira Ordem, desejamos um sistema que não só consiga codificar seu conhecimento sobre o universo (em que está inserido) via uma sintaxe e uma semântica apropriados, mas também que consiga fazer inferências sobre consequências lógicas de suas verdades primeiras.

Consequência Lógica

Temos que, dada uma interpretação $\mathfrak{I}=⟨\mathcal{D},\mathcal{I}⟩$, nosso sistema tem seu conhecimento codificado através de suas sentenças (fórmulas sem variáveis livres), as quais são ou verdadeiras ou falsas universalmente (no universo de discurso $\mathcal{D}$).

Suponhamos que nosso sistema tem um conjunto de sentenças $S$, e que $\alpha \in S$ seja verdadeira sob a interpretação acima. Então temos que

$$\alpha \vee \neg \beta$$

é uma consequência lógica de $S$ (em particular, por causa de $\alpha$), independente de qual $\beta \in S$ seja, e o denotamos por

$$(S\models \alpha \vee \neg \beta )⟺(\forall \mathfrak{I}.\mathfrak{I}\models S⟹\mathfrak{I}\models \alpha )$$

Ou seja, temos que $\alpha$ é uma consequência lógica de $S$ sempre que tivermos uma interpretação na qual $S$ seja verdadeiro, e que isso implique em que $\alpha$ também seja verdadeiro.

Validade lógica

Dizemos que uma sentença é logicamente válida quando ela é consequência lógica do conjunto vazio; o denotamos por

$$\models \alpha$$

Ou seja, $\alpha$ é “válida” se e somente se for consequência lógica de toda e qualquer interpretação $\mathfrak{I}$.

Validade lógica é caso especial de consequência lógica ($VL⟹CL$)

Note-se que $\alpha$ ser uma validade lógica quer dizer que é verdadeiro para qualquer interpretação whatsoever, enquanto ele ser uma consequência lógica de uma sentença $S$ depende de que tal conjunto de sentenças seja verdadeiro em certas interpretações. Ou seja, validade lógica é um caso bem específico de uma consequência lógica.

Crenças explícitas e implícitas

O conjunto de sentenças dadas inicialmente ao sistema serão suas crenças explícitas, seu ponto de partida. Suas crenças implícitas serão as consequências lógicas que ele conseguir inferir a partir de relações entre suas sentenças verdadeiras (que estejam elas próprias sentenças em sua Knowledge Base).

Por exemplo, dado Dog(fido), nosso sistema somente poderá obter a conclusão lógica Mammal(fido) se ele acreditar na relação

$$\forall x.\text{Dog}(x)\supset \text{Mammal}(x)$$

pois pode ser que em sua interpretação, em particular, não seja o caso em que variáveis que satisfaçam Dog, satisfaçam também Mammal.

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Referências

• BRACHMAN, Ronald J.; LEVESQUE, Hector J.; REITER, Raymond (Ed.). Knowledge representation. MIT press, 1992.