Semântica em Lógica de Primeira Ordem
A principal ideia é de que, dados símbolos em uma lógica de primeira ordem, assinamos sentido a eles mediante mapas de interpretação.
Definição: Lookup Table/Variable Assignment
Dada uma interpretação , temos uma função (lookup table em Huth)
que é um mapa indo do (conjunto das variáveis da linguagem) até o (domínio da interpretação ).
Tal mapa pode ser considerado como uma realização das variáveis (que são só símbolos) em objetos interpretáveis no domínio .
Definição: Denotação de Termos
Dada uma interpretação e uma lookup table , definimos a denotação de termos como
undefined||f(t_1, \dots, t_n)||_{\mathfrak{I}, \mu} = \mathcal{I}[f](||t_1||, \dots, ||t_n||)
undefined\mathfrak{I}, \mu \models P(t_1, \dots, t_n) \iff (||t_1||, \dots, ||t_n||) \in \mathcal{I}[P]
- $\mathfrak{I}, \mu \models (t_1 = t_2) \iff ||t_1||_{\mathfrak{I}, \mu} = ||t_2||_{\mathfrak{I}, \mu} \,\,(\in D)$ - $\mathfrak{I}, \mu \models \lnot \alpha \iff$ for falso que $\mathfrak{I}, \mu \models \alpha$; - $\mathfrak{I}, \mu \models (\alpha \land \beta) \iff$ $\mathfrak{I}, \mu \models \alpha$ **e** $\mathfrak{I}, \mu \models \beta$ - $\mathfrak{I}, \mu \models (\alpha \lor \beta) \iff$ $\mathfrak{I}, \mu \models \alpha$ **ou** $\mathfrak{I}, \mu \models \beta$ - $\mathfrak{I}, \mu \models \exists x.\alpha \iff \exists \mu' \mid \mathfrak{I}, \mu' \models \alpha$ para alguma *lookup table* que **difira** de $\mu$ em **no máximo $x$** - $\mathfrak{I}, \mu \models \forall x.\alpha \iff \forall \mu' \mid \mathfrak{I}, \mu' \models \alpha$ para qualquer *lookup table* que **difira** de $\mu$ em **no máximo $x$** ## Caso particular: satisfação de *sentenças* Como **sentenças** $\alpha$ são fórmulas sem variáveis livres, elas são **invariantes** a *variable assignments* $\mu$. Por isso, escrevemos que\mathfrak{I} \models \alpha
$$ quando quisermos dizer que é verdadeiro sob a interpretação , e que é falso caso contrário.
Portanto, é razoável termos que as sentenças serão as unidades de conhecimento em uma base de conhecimento.
References
- BRACHMAN, Ronald J.; LEVESQUE, Hector J.; REITER, Raymond (Ed.). Knowledge representation. MIT press, 1992.
- HUTH, Michael; RYAN, Mark. Logic in Computer Science: Modelling and reasoning about systems. Cambridge university press, 2004.