Interpretação em Lógica de Primeira Ordem

Definição: Interpretação

Uma interpretação é uma dupla $\mathfrak{I}=⟨D,\mathcal{I}⟩$, onde

• $D\ne \varnothing$ é o domínio do discurso;
• $\mathcal{I}$ é o mapa de interpretação, que age em símbolos não-lógicos (funções e predicados $n$-ários) da forma:

Interpretação de funções n-árias

Dada uma função $n$-ária $f$,

\I[f]: \bigtimes\limits_{i=1}^n D \to D

Por exemplo, a função unária bestFriend induz, via $\text{I}$, um mapa $D\to D$, que supostamente mapeia pessoas aos seus melhores amigos sob esta interpretação.

Outro exemplo: uma interpretação da função (símbolo não-lógico) 1-ária successor nos números naturais induziria uma função (matemática)

$$\text{I}(\text{successor}):n\mapsto n+1$$

Interpretação de predicados n-ários

Dado um predicado $n$-ário $P$,

$$\text{I}[P]\subset D^n$$

Por exemplo, o predicado Dog induz, via $\text{I}$, um subconjunto de $D$, supostamente o subconjunto de cachorros sob esta interpretação!

Outro exemplo: a interpretação do predicado (símbolo não-lógico) 2-ário SuccessorOf nos números naturais induziria um conjunto do tipo

$$\text{I}(\text{SuccessorOf})=\{(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),\dots \}\subseteq D^2$$

Equivalentemente, $\text{I}$ induz uma função característica

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