Nicholas Funari Voltani

Lei da Demanda Compensada

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up:: 062b MOC Teoria do Consumidor

A lei da demanda compensada diz respeito à mudança de cestas ótimas de bens mediante uma mudança de preços, relacionando as cestas ótimas antes e depois dessa mudança.

Isso é equivalente ao Axioma Fraco das Preferências Reveladas: se a nova cesta ótima estava em meu conjunto orçamentário prévio, então ela não era ótima originalmente, pois, se estivesse, eu a teria escolhido1!

Matematicamente

Dada uma Demanda Walrasiana2 , sob Restrição Orçamentária e vetor de preços , então temos que o Axioma Fraco das Preferências Reveladas é equivalente à condição de que, para novas condições orçamentárias

mediante alteração de preços e respectiva compensação da renda para comportar a antiga cesta de bens, temos que vale3

Deseja-se provar

Demonstração

Abrindo a condição acima, temos

Os termos “iguais” e são iguais às respectivas rendas, devido à Lei de Walras. Pela condição de AFPR ex hypothesi, temos que os termos cruzados são maiores que as respectivas restrições orçamentárias4.

Portanto, temos que o termo é , e se, e somente se, .

Por contrapositiva, assumindo violação do AFPR5, temos que o termo acima expandido é

Portanto, o termo é . Como, por hipótese de não-AFPR, , temos que a desigualdade é estrita, sendo a negação da condição da tese.

Corolários

Fazendo mudanças diferenciais de preço6, temos que a variação da Restrição Orçamentária é

O diferencial da demanda walrasiana é7

Substituindo no diferencial , temos8

Denotando , temos a Matriz de Slutsky. Pela lei da demanda compensada, temos que

Portanto, A Matriz de Slutsky é semi-definida negativa.

References

Footnotes

  1. Supondo que cestas ótimas sejam únicas. ↩

  2. Ou seja, uma Função Demanda que possua homogeneidade de grau e satisfaça a Lei de Walras. ↩

  3. Onde e . ↩

  4. Suponhamos, por exemplo, que ; portanto, , pois é cesta ótima em . Supondo AFPR, então devemos ter que . Suponha por absurdo que não: ; então teremos que , ou seja, a preferência se inverteu (violando Independência de Alternativas Irrelevantes), portanto violando AFPR; absurdo. Mutatis mutandis para . ↩

  5. Em que e vice-versa, mesmo não sendo ótimos; ou seja, invertem-se as preferências entre e mediante mudanças de . ↩

  6. A partir da condição inicial , expandindo a partir da respectiva demanda walrasiana , que é dada ao fixar-se a condição inicial . ↩

  7. é a matriz de Efeito Substituição, e é um gradiente de Efeito Renda. ↩

  8. é um produto externo de vetores (p. ex. ), dando em uma matriz. ↩

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Backlinks