Lei da Demanda Compensada

up:: 062b MOC Teoria do Consumidor

A lei da demanda compensada diz respeito à mudança de cestas ótimas de bens mediante uma mudança de preços, relacionando as cestas ótimas antes e depois dessa mudança.

Isso é equivalente ao Axioma Fraco das Preferências Reveladas: se a nova cesta ótima estava em meu conjunto orçamentário prévio, então ela não era ótima originalmente, pois, se estivesse, eu a teria escolhido¹!

Matematicamente

Dada uma Demanda Walrasiana² $x(p,w)\in {\mathbb{R}}_{+}^L$, sob Restrição Orçamentária $w$ e vetor de preços $p\in {\mathbb{R}}_{+}^L$, então temos que o Axioma Fraco das Preferências Reveladas é equivalente à condição de que, para novas condições orçamentárias

$$(p^{\prime },w^{\prime })=(p^{\prime },⟨p^{\prime }|x(p,w)⟩)$$

mediante alteração de preços e respectiva compensação da renda para comportar a antiga cesta de bens, temos que vale³

$$⟨(p^{\prime }-p)|(x^{\prime }-x)⟩\le 0$$

Deseja-se provar

$$⟨(p^{\prime }-p)|(x^{\prime }-x)⟩\le 0⟺\text{AFPR}$$

Demonstração

$(⟹)$ Abrindo a condição acima, temos

$$\underset{=w^{\prime }}{\underbrace{⟨p^{\prime }|x^{\prime }⟩}}-\underset{\ge w^{\prime }}{\underbrace{⟨p^{\prime }|x⟩}}-\underset{\ge w}{\underbrace{⟨p|x^{\prime }⟩}}+\underset{=w}{\underbrace{⟨p|x⟩}}$$

Os termos “iguais” $⟨p^{\prime }|x^{\prime }⟩$ e $⟨p|x⟩$ são iguais às respectivas rendas, devido à Lei de Walras. Pela condição de AFPR ex hypothesi, temos que os termos cruzados são maiores que as respectivas restrições orçamentárias⁴.

Portanto, temos que o termo é $\le 0$, e $=0$ se, e somente se, $x=x^{\prime }$.

$(⟸)$ Por contrapositiva, assumindo violação do AFPR⁵, temos que o termo acima expandido é

$$\underset{=w^{\prime }}{\underbrace{⟨p^{\prime }|x^{\prime }⟩}}-\underset{\le w^{\prime }}{\underbrace{⟨p^{\prime }|x⟩}}-\underset{\le w}{\underbrace{⟨p|x^{\prime }⟩}}+\underset{=w}{\underbrace{⟨p|x⟩}}$$

Portanto, o termo é $\ge 0$. Como, por hipótese de não-AFPR, $x\ne x^{\prime }$, temos que a desigualdade é estrita, sendo a negação da condição da tese.

Corolários

Fazendo mudanças diferenciais de preço⁶, temos que a variação da Restrição Orçamentária é

$$dw=d⟨p|x(p,w)⟩=⟨dp|x(p,w)⟩=x(p,w{)}^{T}dp$$

O diferencial da demanda walrasiana é⁷

$$dx=D_{p}xdp+⟨D_{w}x|dw⟩$$

Substituindo $dw$ no diferencial $dx$, temos⁸

$$dx=(D_{p}x+D_{w}x{x}^T)dp$$

Denotando $S\equiv (D_{p}x+D_{w}x{x}^T)$, temos a Matriz de Slutsky. Pela lei da demanda compensada, temos que

$$⟨dp|dx⟩=⟨dp|Sdp⟩\le 0$$

Portanto, A Matriz de Slutsky é semi-definida negativa.

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References

• (14/01/2022) - Iniciação Científica: Introdução à Economia Matemática - Campo Elias - Aula 05 - YouTube

Footnotes

1. Supondo que cestas ótimas sejam únicas. ↩

2. Ou seja, uma Função Demanda que possua homogeneidade de grau $0$ e satisfaça a Lei de Walras. ↩

3. Onde $x\equiv x(p,w)$ e $x^{\prime }\equiv x(p^{\prime },w^{\prime })$. ↩

4. Suponhamos, por exemplo, que $x^{\prime }\in B(p,w)$; portanto, $x⪰x^{\prime }$, pois $x$ é cesta ótima em $B(p,w)$. Supondo AFPR, então devemos ter que $x\notin B(p^{\prime },w^{\prime })⟺⟨p^{\prime }|x⟩>w^{\prime }$. Suponha por absurdo que não: $x\in B(p^{\prime },w^{\prime })$; então teremos que $x^{\prime }⪰x$, ou seja, a preferência se inverteu (violando Independência de Alternativas Irrelevantes), portanto violando AFPR; absurdo. Mutatis mutandis para $x\in B(p^{\prime },w^{\prime })$. ↩

5. Em que $x\in B(p^{\prime },w^{\prime })$ e vice-versa, mesmo não sendo ótimos; ou seja, invertem-se as preferências entre $x$ e $x^{\prime }$ mediante mudanças de $p^{\prime },w^{\prime }$. ↩

6. A partir da condição inicial $(p,w)$, expandindo a partir da respectiva demanda walrasiana $x(p,w)$, que é dada ao fixar-se a condição inicial $(p,w)$. ↩

7. $D_{p}x={\left(\frac{\partial x_i}{\partial p_j}\right)}_{ij}$ é a matriz de Efeito Substituição, e $D_{w}x\equiv {\nabla }_{w}x={\left(\frac{\partial x_i}{\partial w}\right)}_i$ é um gradiente de Efeito Renda. ↩

8. $D_{w}x{x}^T$ é um produto externo de vetores (p. ex. $v{w}^T$), dando em uma matriz. ↩