Correlação

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A correlação (de Pearson) entre duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ é uma medida de relação linear entre elas. Caso seja $\pm 1$, elas são perfeitamente correlacionadas (positiva/negativamente) de maneira linear.

Ela é dada por

$$Corr(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$$

Ou seja, é a Covariância das variáveis, dividido pela raíz das variâncias.

Correlação está entre -1 e 1

Pode-se pensar na covariância como um produto interno¹, $Cov(X,Y)\equiv ⟨X,Y⟩$. Dessa forma, segue a desigualdade de Cauchy-Schwarz

$$\begin{array}{rl}|Cov(X,Y)|& \le \sqrt{Cov(X,X)Cov(Y,Y)}\\ \therefore |Corr(X,Y)|& \le 1\end{array}$$

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References

• Covariance and Correlation
• statistics - how can I prove the value of correlation coefficient $r$ ranges between $-1$ and $1$? - Mathematics Stack Exchange

Footnotes

1. Num espaço vetorial de variáveis aleatórias de média finita. ↩