O estimador da variância é não-enviesado se, e somente se, possui um fator n-1 no denominador

up:: Viés de Estimação

Dados $\{X_i\}$ tirados independentemente de uma mesma distribuição com média $\mu$ e variância ${\sigma }^2$, temos que o estimador

$$\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}{n-1}$$

é um Estimador Não-Enviesado.

Demonstração

Tomando o valor esperado do estimador acima e abrindo a fórmula, temos que isso é igual a

$$\frac{1}{n-1}\left(\sum _{i=1}^n\mathbb{E}(X_i^2)-n\mathbb{E}({\bar{X}}^2)\right)$$

Como temos que a variância é $Var(X_i)=\mathbb{E}(X_i^2)-\mathbb{E}(X_i{)}^2$, e os $X_i$‘s são i.i.d., temos que o primeiro termo é $n({\sigma }^2+{\mu }^2)$.

Como a média amostral é $\frac{\sum X_i}{n}$, temos que

$$Var(\bar{X})=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}Var(X_i)=\frac{1}{n}{\sigma }^2$$

pois os $X_i$‘s são i.i.d.. Portanto, temos (pela mesma fórmula da variância acima)

$$\mathbb{E}({\bar{X}}^2)=\frac{1}{n}{\sigma }^2+{\mu }^2$$

Logo,

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left(\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}{n-1}\right)& =\frac{1}{n-1}(n({\sigma }^2+\cancel{{\mu }^2})-{\sigma }^2-\cancel{n\mu })\\ & ={\sigma }^2\end{array}$$

Logo, é um estimador não-enviesado.

Caso fosse dividido somente por $n$, teríamos que

$$\mathbb{E}\left(\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}{n}\right)=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2$$

Portanto, o viés seria negativo, de valor $-\frac{{\sigma }^2}{n}$: o estimador tenderia a chutar para baixo do valor real da variância! Dividir, invés disso, por $n-1$ aumenta-o o suficiente para que ele não seja enviesado. (Evidentemente que, para $n$ grande, essa correção perde sua pertinência.)

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References

• Unbiased Estimator of Sample Variance – Vol. 2 | Economic Theory Blog