Grupo Livremente Gerado

Grupo Livremente Gerado por conjunto $X$

Dado um conjunto $X$, definimos o grupo livremente gerado $F(X)$ como

$$F(X)\equiv \{f:X\to \mathbb{Z}\mid |supp(f)|<\infty \}$$

o conjunto das funções $f:X\to \mathbb{Z}$ de suporte finito, com a operação de grupo

$$f,g\in F(X)⟹(f+g)(x)\equiv f(x)+g(x)$$

Decomposição em funções características

Cada elemento $f\in F(X)$ pode ser decomposto numa combinação linear de funções características

$$f=\sum _{i=1}^N{a}_i{\delta }_{x_i}$$

onde

$$\begin{array}{r}{\delta }_x(y)=\{\begin{array}{l}1,x=y\\ 0,x\ne y\end{array}\end{array}$$

$F(X)$ é grupo sob soma

1. Dados $f,g\in F(X)$, com suportes $sup{p}_f,sup{p}_g$, a soma $f+g$ terá suporte $sup{p}_f\cup sup{p}_g$ (ou seja, está em $F(X)$).

2. $0:X\to \mathbb{Z}$ é o elemento neutro (possui suporte vazio).

3. O elemento inverso se define como $f=\sum _{i=1}^N{a}_i{\delta }_{x_i}⟺(-f)\equiv \sum _{i=1}^N(-a_i){\delta }_{x_i}$.