Função Dispêndio

up:: 062b MOC Teoria do Consumidor

Problema de minimização da função dispêndio. Fonte: MAS-COLLELL et al, p. 58.

A função dispêndio indica a Renda mínima necessária para se alcançar uma dada Utilidade (dados preços ). Ela, portanto, é função dos preços e da utilidade desejada.

Como assumimos que a Cesta Ótima satisfaz Lei de Walras, temos que a função dispêndio toma a forma

Problema de otimização & Lagrangiano associado

Formalmente, o dispêndio vem do problema de otimização

Para o problema de otimização, o lagrangiano associado ao problema de multiplicadores de Lagrange é¹

Para fins de conferência: o valor do multiplicador tem a forma²:

A otimização de com relação a , mediante , assume a forma da função dispêndio quando é a cesta ótima associada a esta otimização³:

A cesta é dita ser a Demanda Hicksiana.

Relações com outros problemas de otimização do consumidor

De acordo com o Envelope Theorem, temos que a derivada da função dispêndio com relação ao preço ⁴ pode ser obtido através da derivada do lagrangiano otimizado (avaliado na cesta ótima) com relação ao preço:

Ou seja, A demanda hicksiana é o gradiente da função dispêndio.

Ademais, trivialmente temos — dado — que, se a Demanda Marshalliana é a cesta ótima num nível de utilidade , então a renda certamente tem de ser igual à função dispêndio , a qual é o mínimo nível de renda para se alcançar , igualando-se à demanda hicksiana. Portanto, temos a identidade

O inverso também vale: dado e certa restrição orçamentária (i.e. renda) , a demanda hicksiana assumida em e no nível de utilidade da Função de Utilidade Indireta certamente tem de ser igual à demanda walrasiana:

Propriedades

A função dispêndio é côncava, logo, possui segunda derivada negativa. Isso se reflete no fato de que A Matriz de Slutsky é semi-definida negativa.

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References

• MAS-COLELL, Andreu et al. Microeconomic theory. New York: Oxford university press, 1995.
• Lab 2.7 Concavity of Expenditure Function (Raphaëlle Chappe)

Footnotes

1. também é função de , mas não o denoto para não distrair do problema principal: trata-se da otimização (minimização) no tocante a . ↩

2. Escrevo com derivada parcial para relembrar que é, na verdade um vetor; portanto, o correto seria escrever para cada bem . ↩

3. é unívoco por assumirmos Preferências do Consumidor que sejam estritamente convexas, localmente não-saciáveis. ↩

4. Formalmente, com relação a algum preço de um bem , de quantidade ótima consumida . ↩