Lista 5 Microeconomia - 1.2026

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Conceitos introdutórios

Teoria da firma

A teoria da produção em Microeconomia consiste em tratar firmas como “caixas pretas” que tomam certos insumos como inputs e produzem certos bens como outputs. As possibilidades que uma dada firma possui no que tange às proporções de inputs para certas quantidades de outputs podem ser representadas no que se chama de conjunto de produção.

::: definition
Um conjunto de produção $Y$ de uma dada firma é o conjunto $Y\subseteq {\mathbb{R}}^L$, em que cada $Y\ni y=(y_1,\dots ,y_n)$ descreve uma possível configuração de produção, em que

• $y_i<0$ é um input
• $y_i>0$ é um output

Em geral, diz-se que qualquer $y_i$ é um “netput”.
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Note-se que, a depender do conjunto de produção $Y$, pode ser possível que haja “desperdício” de inputs, i.e. uma mesma produção de outputs pode levar mais do que a quantidade “ótima” de inputs, ou, por outro lado, uma quantidade de inputs pode produzir uma quantidade “não-ótima” de outputs.

O mais comum é de falar-se de processos que tomam $n$ inputs $z\in {\mathbb{R}}^n$ e produzem somente $1$ output $y\in {\mathbb{R}}_{+}$. Não só isso, é comum também falar-se de funções de produção $f(z)\in \mathbb{R}$ que descrevem processos ótimos de produção.

::: definition
Uma função $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}_{+}$ é dita ser uma função de produção se ela descreve um processo de produção “ótimo” em um conjunto de produção $Y\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$. Ou seja, para cada processo de produção $(z_1,\dots ,z_n,y)\in Y$, tem-se que

$$f(z)\ge y$$

Ou seja, o valor $f(z)$ é o output ótimo que esta firma consegue produzir a partir destes inputs $z_1,\dots ,z_n$; não quer dizer que é o único — pois sempre é possível se produzir menos eficientemente —, e sim que é a forma mais eficiente.
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::: definition
===Os retornos de escala de uma função produção $f(z)$ ===

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O problema da firma possui um paralelo com o problema do consumidor, consistindo em dois problemas duais: a firma pode buscar minimizar seu custo de produção, assim como pode buscar maximizar seu lucro. Tais problemas são passíveis de ser descritos pelo formalismo acima.

O usual é de se falar sobre a minimização do custo $\sum _{i=1}^n{p}_i{z}_i$ — em que $p_i$¹ é o custo do input $i$, consumido em $z_i\in \mathbb{R}$ “unidades” neste processo específico — para a produção de uma dada quantidade $\bar{q}\in \mathbb{R}$ de output, com alguma função produção $f(z_1,\dots ,z_n)$. Ou seja, usualmente fala-se do problema de minimização do custo. Por outro lado, o formalismo mais geral de conjuntos de produção, em que inputs são “negativos” e outputs são “positivos”, permite uma descrição mais elegante do problema de maximização do lucro.

::: definition
O problema de minimização do custo de uma firma com conjunto de produção $Y\in {\mathbb{R}}^{n+1}$ e função produção $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}_{+}$, dados os preços de seus insumos $w\in {\mathbb{R}}^n$, consiste no problema

$$\underset{z\in {\mathbb{R}}^n}{\min }\sum _{i=1}^n{p}_i{z}_i\text{ t. q. }f(z)\ge q$$

I.e. minimizar o custo com o qual pode-se produzir no mínimo $q$ unidades de output.

A quantidade ótima de cada input empregado $z_i^{\ast }$ sob este problema (de minimização de custo) são denominadas as demandas condicionais $H^i(w,q)$ deste processo (Cowell, 2004, p. 23), denotadas como

$$H^i(w,q):=z_i^{\ast }$$

Os valores da função minimizada neste problema compõem a função custo desta firma:

$$C(w,q):=\sum _{i=1}^n{p}_i{z}_i^{\ast }=\sum _{i=1}^n{p}_i{H}^i(w,q)$$

Como Cowell o coloca, a função custo descreve “o investimento [outlay] mínimo que a firma exige para adquirir os insumos”, dados os preços dos insumos $w$ e o nível de produção $q$ (Cowell, 2004, p. 23).

Há um claro análogo com a teoria do consumidor, em que a função dispêndio

$$e(p,\bar{u})=\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i^{\ast }$$

é a restrição orçamentária mínima com a qual alcança-se um nível de utilidade $\bar{u}$ sob preços $p$ dos bens consumidos $x_i^{\ast }$² em uma cesta.
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::: definition
O problema de maximização do lucro de uma firma que tenha um conjunto de produção $Y\in {\mathbb{R}}^n$ pode ser escrito, no caso geral, como

$$\underset{y\in Y}{\max }\sum _{i=1}^n{p}_i{y}_i=\max \underset{\underset{(y_i>0)}{\mathrm{Receita}}}{\underbrace{\sum _i{p}_i{y}_i}}+\underset{\underset{(y_j<0)}{\mathrm{Custo}}}{\underbrace{\sum _j{p}_i{y}_j}}$$

===Ver casos distintos de como lidar com o problema: Cowell lida com max de lucro dada função custo (já minimizou custo); Mas-Colell maximiza lucro com função produção mas com $⟨w|z⟩$.===

O caso usual, em que empregam-se $n$ inputs $x_1,\dots ,x_n$ (com preços $w_1,\dots ,w_n$) para a produção de $1$ output $q$ (com preço $p$), escreve-se como

$$\underset{x_i,q\in \mathbb{R}}{\max }\left\{pq-\sum _i{p}_i{x}_i\right\}$$

Supondo que a firma tenha uma função produção $f(x_1,\dots ,x_n)\equiv f(x)$, o problema se escreve

$$\underset{x_i\in \mathbb{R}}{\max }\left\{pf(x)-\sum _i{p}_i{x}_i\right\}$$

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Exercícios

::: exercise
(Mas-Colell; Whinston; Green, 1995, pp. 135–6) Seja $F(x)$ uma função produção de uma firma com retornos de escala não-decrescentes. Ou seja,

$$\forall \alpha \in {\mathbb{R}}_{+}:F(\alpha x)\ge \alpha F(x)$$

Prove que, dados preços $p$, o lucro $\pi (p)$ desta firma ou tende a $\infty$, ou $\pi (p)\le 0$.
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::: exercise
Para uma firma com função produção

$$f(K,L)=K^{\alpha }{L}^{\beta }$$

em que $K$ tem “preço” $r$ (taxa real de juros) e $L$ tem “preço” $w$ (salário).

Resolva o problema de minimização de custo no curto prazo ($K=\bar{K}$ fixo, $L$ variável) e longo prazo ($K,L$ variáveis), obtendo as respectivas demanda condicionais $K^{\ast }(r,w,q)$ e $L^{\ast }(r,w,q)$

$$\begin{array}{rl}\text{Curto prazo: }& \{\begin{array}{l}{K}^{\ast }=\bar{K}\\ L^{\ast }(w,r,q;\bar{K})={\left(\frac{q}{{\bar{K}}^{\alpha }}\right)}^{1/\beta }\end{array}\\ \text{Longo prazo: }& \{\begin{array}{l}{K}^{\ast }(w,r,q)=q^{1/\alpha +\beta }{\left(\frac{w}{r}\frac{\alpha }{\beta }\right)}^{\beta /\alpha +\beta }\\ L^{\ast }(w,r,q)=q^{1/\alpha +\beta }{\left(\frac{r}{w}\frac{\beta }{\alpha }\right)}^{\alpha /\alpha +\beta }\end{array}\end{array}$$

e respectivas funções custo:³

$$\begin{array}{rl}& \text{Curto prazo: }C(w,r,q;\bar{K})=r\bar{K}+w{\left(\frac{q}{{\bar{K}}^{\alpha }}\right)}^{1/\beta }\\ & \text{Longo prazo: }C(w,r,q)=q^{1/\alpha +\beta }\left[r^{\alpha }{\left(w\frac{\alpha }{\beta }\right)}^{\beta /\alpha +\beta }+w^{\beta }{\left(r\frac{\beta }{\alpha }\right)}^{\alpha /\alpha +\beta }\right]\end{array}$$

:::

Resoluções

::: exercise
==Exercício de retornos de escala não-decrescentes.==

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::: exercise
Curto prazo: Tenha-se $K=\bar{K}$. Então, é possível isolar $L$ através de

$$\begin{array}{rl}q=f(\bar{K},L)& ={\bar{K}}^{\alpha }{L}^{\beta }\\ ⟹L^{\ast }& ={\bar{K}}^{\alpha /\beta }{q}^{1/\beta }\end{array}$$

Não há “minimização de custo” aqui, pois o estoque fixo de capital $\bar{K}$ e a isoquanta $f(\bar{K},L)=q$ determinam o nível $L$ demandado.

A função custo no curto prazo é

$$C(\bar{K},L^{\ast })=r\bar{K}+w{\bar{K}}^{\alpha /\beta }{q}^{1/\beta }$$

Longo prazo: O problema de minimização do custo $rK+wL$, dado um nível de produção $f(K,L)=K^{\alpha }{L}^{\beta }=q$, é resolvido pela otimização do lagrangiano

$$\mathcal{L}(K,L,\lambda )=rK+wL-\lambda (K^{\alpha }{L}^{\beta }-q)$$

A otimização de $\mathcal{L}$ traz

$$\{\begin{array}{ll}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K}=r-\alpha \lambda K^{\alpha -1}{L}^{\beta }& =0\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L}=w-\beta \lambda K^{\alpha }{L}^{\beta -1}& =0\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda }=K^{\alpha }{L}^{\beta }-q& =0\end{array}$$

Dividindo a primeira equação pela segunda⁴, temos

$$L^{\ast }=\frac{r}{w}\frac{\beta }{\alpha }{K}^{\ast }$$

Substituindo na restrição (terceira equação), temos

$$\begin{array}{rl}q& =K^{\alpha }{L}^{\beta }\\ & =K^{\alpha }{\left(\frac{r}{w}\frac{\beta }{\alpha }\right)}^{\beta }{K}^{\beta }\\ \therefore K^{\ast }& =q^{1/\alpha +\beta }{\left(\frac{w}{r}\frac{\alpha }{\beta }\right)}^{\beta /\alpha +\beta }\end{array}$$

Ressubstituindo na equação de $L^{\ast }$, temos

$$\begin{array}{rl}{L}^{\ast }& =q^{1/\alpha +\beta }\left(\frac{r}{w}\frac{\beta }{\alpha }\right){\left(\frac{w}{r}\frac{\alpha }{\beta }\right)}^{\beta /\alpha +\beta }\\ & =q^{1/\alpha +\beta }{\left(\frac{w}{r}\frac{\alpha }{\beta }\right)}^{(-\alpha -\beta )/\alpha +\beta }{\left(\frac{w}{r}\frac{\alpha }{\beta }\right)}^{\beta /\alpha +\beta }\\ & =q^{1/\alpha +\beta }{\left(\frac{w}{r}\frac{\alpha }{\beta }\right)}^{-\alpha /\alpha +\beta }\\ \therefore L^{\ast }& =q^{1/\alpha +\beta }{\left(\frac{r}{w}\frac{\beta }{\alpha }\right)}^{\alpha /\alpha +\beta }\end{array}$$

A função custo, sendo $C(r,w,q)=r{K}^{\ast }+w{L}^{\ast }$, fica

$$\begin{array}{rl}C(r,w,q)& =q^{1/\alpha +\beta }\left(\frac{r^{(\alpha +\cancel{\beta })/\alpha +\beta }}{r^{\cancel{\beta }/\alpha +\beta }}{\left(w\frac{\alpha }{\beta }\right)}^{\beta /\alpha +\beta }+\frac{w^{(\cancel{\alpha }+\beta )/\alpha +\beta }}{w^{\cancel{\alpha }/\alpha +\beta }}{\left(r\frac{\beta }{\alpha }\right)}^{\alpha /\alpha +\beta }\right)\\ & =q^{1/\alpha +\beta }\left(r^{\alpha /\alpha +\beta }{\left(w\frac{\alpha }{\beta }\right)}^{\beta /\alpha +\beta }+w^{\beta /\alpha +\beta }{\left(r\frac{\beta }{\alpha }\right)}^{\alpha /\alpha +\beta }\right)\end{array}$$

:::

Footnotes

1. Não raro, autores de Microeconomia empregam a letra $w_i$ como o custo do insumo $i$, como um análogo ao wage/preço da força de trabalho. Escolhemos utilizar aqui a letra $p_i$ de preços/prices para não confundir com o uso comum da letra $w$ para restrições orçamentárias — letra a qual, diga-se de passagem, também não faz sentido, sendo comum usar-se as letras $m$ (money) ou $I$ (income). Mas enfim… são só letras! ↩

2. Demandas estas que, sob o problema de minimização do dispêndio, são Demandas Hicksianas. ↩

3. Citando o honorável professor João Carlos Alves Barata — autor das enciclopédicas Notas (de Física Matemática) do Barata —, é bom “fazer estas contas ao menos uma vez na vida”. ↩

4. Sem dividir por zero, evidentemente. ↩

COWELL, Frank. Microeconomics: Principles and Analysis. [S.l.: S.n.].

MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael Dennis; GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press, 1995.