Equação de Slutsky

up:: 062b MOC Teoria do Consumidor

A equação de Slutsky relaciona a Demanda Walrasiana com a Demanda Hicksiana , ao decompor os Efeito Substituição e Efeito Renda.

Dada a Renda e Utilidade , deseja-se saber a mudança da cesta ótima com relação à mudança de preços.

Versão “unidimensional”

Tem-se a identidade

onde é a Função Dispêndio. Derivando com relação a , temos

Como temos que A demanda hicksiana é o gradiente da função dispêndio, temos

Porém, pela mesma identidade acima, e sabendo que , temos

Versão geral

Temos a identidade

Derivando quanto ao preço , temos

Pelo mesmo motivo acima, substituímos por , tendo

Em notação matricial, podemos escrevê-lo da seguinte forma:

onde é a jacobiana da demanda com relação aos preços, e é um produto exterior (outer product)¹.

A matriz resultante, , é a Matriz de Slutsky.

Exemplo

Seja Utilidade de Cobb-Douglas (a preços ). Sabe-se que as Demandas Marshallianas são

A partir delas, obtém-se a Utilidade Indireta

Invertendo em termos de , temos a Função Dispêndio

Pela identidade que define a Demanda Hicksiana

podemos reobter :

Montando a equação de Slutsky para primeiro, temos

que é o Efeito Preço dessa demanda (efetivamente observado).

O Efeito Renda é obtido como

O Efeito Substituição é obtido como

Tomando como sendo a utilidade indireta — ou seja, —, obtém-se

Somando ambos, confirma-se a identidade de Slutsky

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References

• Lecture 3: Income and Substitution Effects - MIT OpenCourseWare (Robert Townsend)
• Slutsky Equation: The Derivation - YouTube
• MAS-COLELL, Andreu et al. Microeconomic theory. New York: Oxford university press, 1995.

Footnotes

1. Um exemplo em 2D basta: sejam e vetores-coluna. Então o outer product é definido como . Note que os sub-índices dos vetores multiplicados contam como os índices dos respectivos vetores originais. ↩