Axioma Fraco das Preferências Reveladas

up:: 062b MOC Teoria do Consumidor

“Se é observado que você escolheu $x$, rejeitando $y$, [então] você declarou ter ‘revelado’ uma preferência de $x$ sobre $y$” (SEN, p. 322; grifo meu)

O axioma fraco das preferências reveladas diz que, caso prefira-se $A⪰B$¹, então sempre que $A$ for affordable, e tanto $A$ quanto $B$ sejam opções de escolha, então eu escolherei $A$.

O AFPR também indica como espera-se que uma escolha ótima mude após a alteração de preços dos bens de sua Cesta de Bens. A ideia é de que a mudança de preços e/ou renda induza a escolha de uma cesta ótima fora do alcance prévio². A intuição é de que, após uma mudança de condições de compra, a nova cesta ótima escolhida deva estar fora do conjunto orçamentário prévio – pois, se estivesse ao alcance anteriormente, ele poderia tê-la escolhido³.

Se ambos são escolhas ótimas dentro do mesmo conjunto orçamentário, não faz sentido que eu escolha uma em detrimento da outra!

Matematicamente

Sejam $(x,p,w)$ e $(x^{\prime },p^{\prime },w^{\prime })$ cestas ótimas em respectivos conjuntos orçamentários $B(p,w)$ e $B(p^{\prime },w^{\prime })$.⁴

Então, se temos que

$$x^{\prime }\in B(p,w)⟺⟨p|x^{\prime }⟩\le w$$

(ou seja, $x^{\prime }$ está no conjunto orçamentário $B(p,w)$), e que $x\ne x^{\prime }$⁵, então temos que

$$x\notin B(p^{\prime },w^{\prime })⟺⟨p^{\prime }|x⟩\nleqq w^{\prime }⟺⟨p^{\prime }|x⟩>w^{\prime }$$

Ou seja, se uma cesta $x^{\prime }$ já estava no conjunto orçamentário prévio $B(p,w)$, e é uma escolha ótima nesta cesta, então (sob AFPR) não pode ser o caso de que ela estava no conjunto orçamentário prévio.

Exemplo gráfico

Fonte: areweb.berkeley.edu/~fally/Courses/ARE202Lecture3.pdf

No caso à esquerda, temos que $x\equiv x(p,w)$ é cesta ótima do conjunto orçamentário original $B(p,w)$, e temos que $x^{\prime }\equiv x(p^{\prime },w^{\prime })$ — ou seja, a cesta ótima do novo conjunto orçamentário $B(p^{\prime },w^{\prime })$ — já estava disponível em $B(p,w)$ originalmente. Satisfaz-se AFPR, pois tem-se que $x⪰x^{\prime }$, e, quando $x$ não está mais ao alcance da escolha, há agora possibilidade de se escolher $x^{\prime }$.

No caso à direita, não satisfaz-se AFPR, pois ambos $x$ e $x^{\prime }$ estão ao alcance da escolha em ambos os conjuntos orçamentários; portanto, não faz sentido que um seja preferível ao outro, posto que estão “ao alcance da mão” em ambos os casos. Ou seja, houve uma violação de Independência de Alternativas Irrelevantes: mudaram-se condições desrelacionadas à preferência $⪰$, no tocante a $x$ e $x^{\prime }$, mas mesmo assim houve uma mudança de preferência de um para o outro.

Exemplo numérico

Fonte: (14/01/2022) - Iniciação Científica: Introdução à Economia Matemática - Campo Elias - Aula 05 - IMPA (38:43)

Para os casos $1$ e $3$, temos que

	$p_1$	$p_2$	$x_1$	$x_2$	$m$ (cesta ótima)	$m$ (outra cesta)
(Caso 1)	2	2	10	1	22	18
(Caso 3)	1	2	5	4	13	12

Ou seja, na situação (3), temos que a cesta foi $(5,4)$ com gasto total $13$ – mas ele poderia ter comprado a mesma cesta que em $(1)$ – i.e. $(10,1)$ (e ainda gastando menos)!
Portanto, essa escolha não satisfaz o axioma fraco de preferências reveladas: não faz sentido que eu escolha (otimamente) uma delas em um caso, e a outra em outro caso, posto que ambas estavam ao meu alcance desde o começo (em ambos os casos 1 e 3).

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References

• (14/01/2022) - Iniciação Científica: Introdução à Economia Matemática - Campo Elias - Aula 05 - IMPA
• 7 Minutes to Master WARP, the Weak Axiom of Revealed Preference - YouTube
• SEN, Amartya K. Rational fools: A critique of the behavioral foundations of economic theory. Philosophy & public affairs, p. 317-344, 1977.

Footnotes

1. Notar que, na economia neoclássica, confunde-se a noção de “alternativa favorita” com “alternativa escolhida”. Cf. SEN, 1977. ↩

2. Assumindo uma situação “pior” para uma “melhor”. Caso haja o contrário, i.e. aumento de todos os preços e “piora” das condições de compra, podemos ver seu simétrico: ele estava melhor antes. ↩

3. E se ele fosse indiferente entre ambas, não faz muito sentido que uma mudança de preços faça com que elas deixem de ser indiferentes. ↩

4. Ou seja, $x$ e $x^{\prime }$ estão sobre a Reta Orçamentária, cf. Lei de Walras. ↩

5. Assumindo que a escolha ótima é única para dado conjunto orçamentário. ↩