Dada uma função custo, a taxa marginal de substituição técnica é a razão dos produtos marginais

up:: Taxa Marginal de Substituição Técnica

Temos que, dada uma Função Custo $C(x_1,x_2)=w_1{x}_1+w_2{x}_2$, o Produto Marginal do Trabalho com relação ao fator de produção $x_1$ é

$$\frac{dq}{d{x}_1}=\frac{\partial q}{\partial x_1}\frac{d{x}_2}{d{x}_1}+\frac{\partial q}{\partial x_2}$$

O ponto em que o produto marginal é $0$ dá

$$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{{\partial }_{x_2}q}{{\partial }_{x_1}q}$$

Como, pela função custo, temos que $\frac{d{x}_2}{dx1}=-\frac{w_1}{w_2}$ é a razão dos custos dos fatores de produção, temos que

$$\frac{{\partial }_{x_1}q}{w_1}=\frac{{\partial }_{x_2}q}{w_2}$$

É um resultado análogo a como, Dada uma restrição orçamentária, a taxa marginal de substituição é a razão das utilidades marginais: tem-se uma relação bang for you buck, em que o produto marginal de $1$ sobre o seu custo é igual ao produto marginal de $2$ sobre seu custo. A igualdade diz que, neste ponto, é-se indiferente quanto a ambos – se não fosse, se priorizaria aquele que tivesse produto marginal maior sobre custo de produção, até que ambos se equilibrassem.

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References

• Lec 9 | MIT 14.01SC Principles of Microeconomics (Jon Gruber, 2010)