Coeficiente de Aversão Relativa ao Risco

up:: 062d MOC Loterias

Dada uma Utilidade de Bernoulli $u(\cdot )$, defina-se (para dada riqueza $x$) $\tilde{u}(t)=u(tx)$, onde $t$ são variações percentuais de $x$; por definição, $\tilde{u}(1)=u(x)$. Buscamos calcular a Coeficiente de Aversão Absoluta ao Risco para $\tilde{u}(t)$ com relação a estes percentuais $t$.

As derivadas parciais de $\tilde{u}(t)$ são

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial \tilde{u}(t)}{\partial t}=x{u}^{\prime }(tx)\\ \frac{{\partial }^2\tilde{u}(t)}{{\partial }^{2}t}=x^2{u}^{\prime \prime }(tx)\end{array}$$

Fazendo um análogo do coeficiente de Arrow-Pratt para $\tilde{u}$ — avaliado em $t=1$, pois interessa analisar variações em torno de $x$ —, chegamos ao coeficiente de aversão relativa ao risco:

$$r_R(x,u):=-\frac{\frac{{\partial }^2\tilde{u}(t=1)}{{\partial }^{2}t}}{\frac{\partial \tilde{u}(t=1)}{\partial t}}=-x\frac{u^{\prime \prime }(x)}{u^{\prime }(x)}=x{r}_A(x,u)$$

---

References

• MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael Dennis; GREEN, Jerry R. Microeconomic theory. New York: Oxford University Press, 1995.