Teorema de Euler da Função Homogênea

up:: 062b MOC Teoria do Consumidor, 020 MOC Mathematics

Seja $F:{\mathbb{R}}^L\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$ uma função continuamente diferenciável. Então¹

$$F(\alpha \vec{x})={\alpha }^{n}F(\vec{x})⟹\vec{x}\cdot \nabla F(\vec{x})=nF(\vec{x})$$

Demonstração

$F(t\vec{x})=t^{n}F(\vec{x})$ por hipótese. Diferenciando com relação a $t$, temos

$$\frac{d}{dt}F(t\vec{x})=\frac{\partial F}{\partial t\vec{x}}\cdot \vec{x}=n{t}^{n-1}F(\vec{x})$$

Fazendo $t=1$, resta

$$\nabla F\cdot \vec{x}=nF(\vec{x})$$

---

References

• (14/01/2022) - Iniciação Científica: Introdução à Economia Matemática - Campo Elias - Aula 05 - IMPA

Footnotes

1. A volta também vale, mas não parece ser pertinente para problemas de Micro. (E também eu não sabia demonstrar.) ↩