Cobb-Douglas para $L$ bens

U (x_{1}, \dots, x_{L}) = k = 1 \prod L x_{k}^{α_{k}}

Suponhamos que ela já seja normalizada, de tal forma que $\sum_{k} α_{k} = 1$ (com $α_{k} > 0$ ).

Tenha-se uma Restrição Orçamentária da forma $⟨ p ∣ x ⟩ \leq w$ .

Busque-se uma solução interior. Então o lagrangiano associado é

L (x, p, w) = k = 1 \prod L x_{k}^{α_{k}} + λ (⟨ p ∣ x ⟩ - w)

As condições de primeira ordem dão

⎩ ⎨ ⎧ \forall k : \frac{α _{k}}{x _{k}} k = 1 \prod L x_{k}^{α_{k}} + λ p_{k} k \sum p_{k} x_{k} = 0 = w

Das primeiras equações, tem-se que, para quaisquer $i, j$ , vale

\frac{α _{i}}{p _{i} x _{i}} = \frac{α _{j}}{p _{j} x _{j}}

Da restrição, obtém-se que, para qualquer $i$

w = k \sum \frac{p _{k} x _{k}}{α _{k}} α_{k} = \frac{p _{i} x _{i}}{α _{i}} k \sum α_{k} = \frac{p _{i} x _{i}}{α _{i}}

Portanto, para todo $i$ vale

x_{i} = α_{i} \frac{w}{p _{i}}

Equivalentemente, vale o resultado esperado para uma utilidade Cobb-Douglas:

α_{i} = \frac{p _{i} x _{i}}{w}

Ou seja, os argumentos $α_{i}$ dão as proporções de cada bem $i$ no dispêndio da renda $w$ ¹.

Nicholas Funari Voltani