Lista 2 Microeconomia - 1.2026

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Conceitos introdutórios

Exercícios

(Exercício 2.1) Um consumidor consome um bem de consumo $x$ e usufrui de uma quantidade de horas de lazer $h$. O preço do bem de consumo é $p$, e o consumidor pode trabalhar a uma taxa salarial de $s\in {\mathbb{R}}^{+}$ (salário positivo!). Qual é o conjunto orçamentário walrasiano do consumidor (em notação matemática)? Note que $0\le h\le 24$ !

(Exercício 2.2) Mostre que, se uma demanda walrasiana $x(p,w)\in {\mathbb{R}}^L$ ($x$ é um vetor de $L$ elementos) é homogênea de grau $1$ em relação a $w$ — isto é, $x(p,\alpha w)=\alpha x(p,w)$ —, e satisfaz a lei de Walras, então

$${ϵ}_{lw}(p,w)=1(l=1,2,\dots ,L)$$

O que isso quer dizer sobre $\frac{\partial x_l(p,w)}{\partial w}$ e, portanto, sobre a respectiva curva de Engel desta demanda? (Dica: é possível ter-se $\alpha =\frac{1}{w}$…)

(Exercício 2.3) Uma função de utilidade de Cobb-Douglas de uma dada cesta de $n$ bens $\vec{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ é definida como

$$U(x_1,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{x}_i^{{\alpha }_i}=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\dots x_n^{{\alpha }_n}$$

em que $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=1$. Supondo que o vetor de preços é $\vec{p}=(p_1,\dots ,p_n)\in {\mathbb{R}}_{+}^n$ e que a restrição orçamentária seja

$$\left\{\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n:\vec{x}\cdot \vec{p}=\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i\le w\right\}$$

Mostre, através da minimização com multiplicadores lagrangianos, que a demanda walrasiana, para cada bem $i=1,\dots ,n$, é da forma

$$x_i^{\ast }(p,w)={\alpha }_i\frac{w}{p_i}$$

Dica: Note que as condições de multiplicadores lagrangianos dão a identidade, para cada $i,j=1,\dots ,n$,

$$\frac{{\alpha }_i}{p_i{x}_i^{\ast }}=\frac{{\alpha }_j}{p_j{x}_j^{\ast }}$$

Através dela, verifique que se pode concluir que a demanda ótima de Cobb-Douglas é tal que

$${\alpha }_i=\frac{p_i{x}_i}{w}$$

Ou seja, os coeficientes ${\alpha }_i$ do bem $i$ dão o percentual da renda ($w$) que é despendida no bem $i$ ($p_i{x}_i$).

Calcule também a elasticidade-renda ${ϵ}_{lw}(p,w)$ dessa demanda.

(Exercício 2.4) Uma função de utilidade quase-linear em ${\mathbb{R}}^2$ tem a forma

$$U(x_1,x_2)=x_1+v(x_2)$$

onde $v(x)$ é alguma função. Seja $\vec{p}=(p_1,p_2)\in {\mathbb{R}}_{+}^2$ o vetor de preços, e uma restrição orçamentária dada por $w\in \mathbb{R}$.

Calcule a demanda walrasiana ${\vec{x}}^{\ast }$ para $v(x_2)=\sqrt{x_2}$ e para $v(x_2)=\ln x_2$.

Note que essas demandas walrasianas não determinam $x_1$! Isso quer dizer que, dados $\vec{p}$ e $w$, o conjunto de cestas

$$\{m\in \mathbb{R}:(m,x_2^{\ast })\}$$

dado o $x_2^{\ast }$ ótimo, são todas cestas ótimas.

Calcule também a elasticidade-renda ${ϵ}_{lw}(p,w)$ dessa demanda.

(Exercício 2.5 — Extenso!) Uma função de utilidade CES¹ é da forma

$$U(x_1,x_2)=({\alpha }_1{x}_1^{\rho }+{\alpha }_2{x}_2^{\rho }{)}^{1/\rho }$$

para dado $\rho \in (-\infty ,1]$. Dado vetor de preços $\vec{p}=(p_1,p_2)\in {\mathbb{R}}^2$ e restrição orçamentária $w$, obtenha a demanda walrasiana ${\vec{x}}^{\ast }$.

Dica: Pelo exercício 1.3, a demanda ótima de $U(\vec{x})$ é a mesma que a de² $\tilde{U}(\vec{x}):=\rho U(\vec{x}{)}^{\rho }=\rho ({\alpha }_1{x}_1^{\rho }+{\alpha }_2{x}_2^{\rho })$, o que facilita os cálculos.

Calcule também a elasticidade-renda ${ϵ}_{lw}(p,w)$ dessa demanda.

(Exercício 2.6) Dada a função de utilidade CES (vide acima), demonstre que ela tende às funções de utilidade

1. linear quando $\rho \to 1$
2. Cobb-Douglas quando $\rho \to 0$ (supondo que ${\alpha }_1+{\alpha }_2=1$). Dica: Caso não tenha resolvido o exercício acima, pode ser útil fazer o limite para $\tilde{U}(\vec{x})=\ln U(\vec{x})=\frac{1}{\rho }\ln ({\alpha }_1{x}_1^{\rho }+{\alpha }_2{x}_2^{\rho })$. Além disso, lembre-se que³ $\frac{\partial x^{\rho }}{\partial \rho }=\frac{\partial }{\partial \rho }\exp (\ln x^{\rho })=\ln (x)x^{\rho }$ (a derivada não é em relação a $x$!)
3. Leontief quando $\rho \to -\infty$

Recomendação: Uma boa visualização da função CES pode ser encontrada em CES Utility Function - EconGraphs.

(Exercício 2.7) Mostre que as elasticidades de substituição ${\xi }_{12}$ da função de utilidade CES são

1. ${\xi }_{12}\to -\infty$ quando $\rho \to 1$ (utilidade linear)
2. ${\xi }_{12}\to -1$ quando $\rho \to 0$ (utilidade Cobb-Douglas)
3. ${\xi }_{12}\to 0$ quando $\rho \to -\infty$ (utilidade de Leontief)

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Referências

• MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael Dennis; GREEN, Jerry R. Microeconomic theory. New York: Oxford University Press, 1995.

Footnotes

1. Constant Elasticity of Substitution. ↩

2. $:=$ é um símbolo que indica uma definição de uma nova variável. ↩

3. Rigorosamente, só podemos fazer $z=\exp (\ln z)$ se $z>0$. Esta condição é satisfeita, pois estamos sempre falando de cestas de bens que tenham ao menos “um pouco de cada bem”. Sim, estamos fugindo de Kuhn-Tucker como o diabo foge da cruz! ↩