Lista 1 Microeconomia - 1.2026

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Conceitos introdutórios

Conjuntos parcialmente/totalmente ordenados

Um conjunto (não-vazio) $X$ é dito parcialmente ordenado se ele possui uma relação $\le$ que satisfaça¹

• Reflexividade: $\forall x\in X:x\le x$
• Transitividade: $\forall x,y,z\in X:(x\le y)\wedge (y\le z)⟹x\le z$
• Antissimetria: $\forall x,y\in X:(x\le y)\wedge (y\le x)⟹x=y$

Essa relação $\ge$ é dita ser uma relação de ordem parcial (ou relação parcial de ordem).

Caso todos os elementos em $X$ sejam “comparáveis” através de $\le$ — ou seja,²

$$\forall x,y\in X:(x\le y)\vee (y\le x)$$

dizemos que o conjunto $X$ é totalmente ordenado, e que $\le$ é uma relação de ordem total (ou relação total de ordem).

Note que, naturalmente, nem todas as relações parciais de ordem são totais. Seja $X=\{1,2,3\}$, e $\mathcal{P}(X)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},X\}$ o conjunto das partes de $X$ (em inglês: power set). Verifique que $\mathcal{P}(X)$, com a relação de inclusão de conjuntos $\subseteq$, é uma relação parcial de ordem, mas que não é total — ou seja, existem elementos em $\mathcal{P}(X)$ que não são comparáveis sob $\subseteq$.

(Ao leitor pedante: trivialmente pode-se definir $x⪯y$ — a operação “para o outro lado” — como $y⪰x$.)

Preferências racionais

Mas-Colell; Whinston; Green, (1995) definem preferências racionais $⪰$ como “relações completas ($\forall x,y:x⪰y\vee y⪰x$) e transitivas” — ou seja, vide acima, são relações de ordem total sobre um espaço de cestas de bens.

Vide definição 1.B.2. em Mas-Colell; Whinston; Green, (1995), uma função $u:X\to \mathbb{R}$ é uma função utilidade que representa uma relação de ordem $⪰$ caso

$$\forall x,y\in X:x⪰y⟺u(x)\ge u(y)$$

(naturalmente com a relação de ordem $\ge$ usual dos números reais $\mathbb{R}$.)

A relação de ordem sobre os reais $\mathbb{R}$ é uma relação total, pois sabemos que, para quaisquer números reais $x,y\in \mathbb{R}$, vale que ou $x>y$, ou $x<y$, ou $x=y$; dito de outra forma, sempre vale que ou $x\ge y$, ou $y\ge x$.

Dessa forma, caso uma relação de preferências $⪰$, sobre um conjunto $X$ de cestas de bens, seja representável por uma função utilidade $u:X\to \mathbb{R}$, então necessariamente esta relação tem de ser racional (i.e. relação total de ordem). A demonstração da proposição 1.B.2 em Mas-Colell; Whinston; Green, (1995) segue o seguinte esquema: para quaisquer $x,y\in X$, como $u(x)$ e $u(y)$ estão sobre um conjunto totalmente ordenado $\mathbb{R}$, então vale que ou $u(x)\ge u(y)$, ou $u(y)\ge u(x)$, e como pressupõe-se que $⪰$ é representada por $u$, então conclui-se que ou $x⪰y$ ou $y⪰x$ — portanto, esta relação $⪰$ é total.

Ou seja, caso uma relação de preferências seja representável por uma função utilidade, então ela será racional. A recíproca não é verdadeira: há preferências racionais que não são representáveis por funções utilidade, uma das quais é a ordem lexicográfica (exercício 1.5 abaixo).

Exercícios

Relações de ordem e preferências racionais

(Exercício 1.1) Demonstre que, a partir de uma relação de ordem $⪰$ em um espaço $X$, é possível definir uma relação $\sim$ que

$$\forall x,y\in X:x\sim y⟺(x⪰y)\wedge (y⪰x)$$

(Tradução: “Para todo $x$ e $y$ pertencentes a $X$, vale que $x\sim y$ se, e somente se, valer que $x⪰y$ e também $y⪰x$.)

Essa relação $\sim$ satisfaz as propriedades:

1. Reflexividade: $\forall x\in X:x\sim x$
2. Comutatividade: $\forall x,y\in X:x\sim y⟺y\sim x$
3. Transitividade: $\forall x,y,z\in X:(x\sim y)\wedge y(\sim z)⟹x\sim z$

Por satisfazer estas propriedades, $\sim$ é dita uma relação de equivalência.³

(Exercício 1.2) Dada uma relação de equivalência $\sim$ sobre algum conjunto (não-vazio) $X$, então é possível definir, para cada $x\in X$, sua classe de equivalência $[x]$ como sendo o conjunto⁴

$$[x]:=\{y\in X:y\sim x\}$$

Ou seja, é o conjunto de elementos em $X$ que são equivalentes (sob $\sim$) a $x$ (note que $x\in [x]$ — por quê?).

Demonstre que classes de equivalência são disjuntas: se há algum elemento em comum entre duas classes de equivalência $[x]$ e $[y]$, então elas são a mesma classe de equivalência. Dito de outra forma: se $x\nsim y$ (ou seja, que não seja verdade que $x\sim y$), então não haverá interseção entre suas classes de equivalência — i.e. $[x]\cap [y]=\varnothing$ —, e, portanto, $[x]\ne [y]$. Escrito em “matematiquês”, esta proposição lê:⁵

$$\forall x,y\in X:x\nsim y⟺[x]\ne [y]$$

A importância deste exercício é que, dada uma relação de preferência racional $⪰$ sobre algum conjunto de cestas de bens $X$, é possível definir uma relação de equivalência $\sim$ , a qual descreve uma “relação de indiferença” entre cestas de $X$. As curvas de indiferença são, portanto, classes de equivalência sob esta relação de equivalência induzida por esta preferência. Segue do resultado acima, portanto, que curvas de indiferença diferentes não se cruzam!

(Exercício 1.3) Uma função monotônica $f:X\to Y$ (definida sobre conjuntos parcialmente ordenados $(X,{⪰}_X)$ e $(Y,{⪰}_Y)$) é uma função que preserva relações de ordem. Ou seja, se temos $x{⪰}_{X}y$ em $X$, então $f(x){⪰}_{Y}f(y)$ em $Y$. Em matematiquês:

$$\forall x,y\in X:x{⪰}_{X}y⟹f(x){⪰}_{Y}f(y)$$

Mostre que relações de equivalência (induzidas por relações de ordem) são também preservadas por $f$: se $x\sim y$, então $f(x)\sim f(y)$.

Isso quer dizer que, embora “os valores mudem” por conta da função $f$, o formato das curvas de indiferença permanecem os mesmos.

Obs: É comum se dizer que funções monotônicas são “funções não-decrescentes”, e que funções estritamente monotônicas são “funções estritamente crescentes” — isso, porém, segue da definição de acima⁶. Funções monotônicas em geral preservam $⪰$, mas pode haver casos em que, por exemplo, $x{\succ }_{X}y$ e $\mathbf{x}{\nsim }_{\mathbf{X}}\mathbf{y}$, mas $f(x){⪰}_{Y}f(y)$, ou até $f(x){\sim }_{Y}f(y)$ — por exemplo, funções em $\mathbb{R}$ que sejam crescentes mas que possuam “platôs” nos quais certos intervalos estejam “na mesma altura” num gráfico; são, portanto, funções “não-decrescentes”. Por outro lado, funções estritamente monotônicas preservam somente $\succ$ — se $x{\succ }_{X}y$, então garante-se que $f(x){\succ }_{Y}f(y)$ — e, portanto, são funções estritamente crescentes.

(Exercício 1.4) Considere uma relação de preferência definida sobre ${\mathbb{R}}^2$ definida como

$$(x_1,x_2)\succ (y_1,y_2)⟺x_1+x_2>y_1+y_2$$

Essa relação de preferência satisfaz não-saciedade local?

(Exercício 1.5) A ordem lexicográfica $⪰$ é uma relação de ordem definida para quaisquer $x=(x_1,x_2)\in {\mathbb{R}}^2$ e $y=(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2$ como

$$x⪰y⟺(x_1\ge y_1)\vee [(x_1=y_1)\wedge (x_2\ge y_2)]$$

É chamada “lexicográfica”, pois é um ordenamento alfabético: por exemplo, $ab⪰aa$, pois $a=a$ (ou seja, $x_1=y_1$) e $b\ge a$ (ou seja, $x_2\ge y_2$).

Em outras notícias, o velho Jorge é alcoólatra. Seus amigos falam em voz baixa sobre suas curvas de nível lexicográficas: ele sempre prefere estritamente a cesta de consumo que contém a maior quantidade de bebida, independentemente da quantidade dos outros bens na cesta; se duas cestas tiverem a mesma quantidade de bebida, ele prefere estritamente a cesta que tem a maior quantidade dos outros bens. Esboce as preferências do velho Jorge em um diagrama. Qual dos axiomas (completude e transitividade) é violado por tal ordenação? Ela é uma relação de ordem contínua?

Referências

• MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael Dennis; GREEN, Jerry R. Microeconomic theory. New York: Oxford University Press, 1995.

Footnotes

1. Note que $\forall$ é um “A” invertido, que em inglês se lê “for all”. Por exemplo, a asserção $\forall x\in X:x\le x$ lê: “Para todo $x$ pertencente ao conjunto $X$, vale que $x\le x$“. Ademais, caso valha a asserção lógica $A\wedge B$, lê-se: ”$A$ e $B$ são verdadeiros”. ↩

2. Caso valha a asserção lógica $A\vee B$, lê-se: ”$A$ ou $B$ é/são verdadeiro(s)“. Note que este “ou” é inclusivo, ou seja, quer dizer ”$A$ é verdadeiro, $B$ é verdadeiro, ou $A$ e $B$ são verdadeiros”. ↩

3. Note que a relação de igualdade $x=y$ satisfaz essas propriedades. Relações de equivalência são mais gerais, e menos restritivas, do que relações de igualdade. ↩

4. Tradução matemática: $[x]$ é definido como “o conjunto de elementos $y\in X$ tais que $x\sim y$“. Note que estes elementos $y$ são um mero índice, i.e. não importa qual letra seja usada; poderia igualmente ser escrito como “o conjunto de elementos $z\in X$”, ou “…elementos $\xi \in X$“. O único elemento que tem alguma “concretude” aqui (além do dado conjunto $X$) é um dado elemento $x$, que foi pré-determinado no enunciado. ↩

5. $A⟹B$ lê ”$A$ implica $B$”, ou seja, $A$ ser verdadeiro implica que $B$ também seja verdadeiro. $A⟺B$ quer dizer que $A$ é verdadeiro se e somente se $B$ for verdadeiro; é o mesmo que $A⟹B$ e também $B⟹A$. ↩

6. Usualmente também assume-se que o domínio da função $f$ seja totalmente ordenado, que é o caso de $\mathbb{R}$: todos os elementos são comparáveis entre si sob a relação de ordem. Mas isso é mero pedantismo: se dois elementos $x,y\in X$ não fossem comparáveis sob relação de ordem, então já não haveria nada entre eles para ser preservado por $f$, e tudo se passaria como se nada tivesse se passado! ↩

MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael Dennis; GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press, 1995.