Dada uma restrição orçamentária, a taxa marginal de substituição é a razão das utilidades marginais

up:: Taxa Marginal de Substituição

Dada uma Cesta de Bens e Função Utilidade $U(x_1,x_2)$, temos que a variação de utilidade $dU$, ao longo de alguma Restrição Orçamentária, tem a forma

$$dU=\frac{\partial U}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial U}{\partial x_2}d{x}_2=0$$

Disso sai que¹

$$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{\frac{\partial U}{\partial x_1}}{\frac{\partial U}{\partial x_2}}{|}_{U=\bar{U}}$$

$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}$ é o Custo de Oportunidade do bem $2$ com relação ao bem $1$, igual a $-\frac{p_1}{p_2}$². Portanto, temos que uma escolha ótima do consumidor ocorre quando

$$\frac{\frac{\partial U}{\partial x_1}}{\frac{\partial U}{\partial x_2}}{|}_{U=\bar{U}}=\frac{p_1}{p_2}$$

É crucial notar, aqui, que estamos fazendo essa derivação para alguma utilidade $\bar{U}$ específica!

Uma outra forma de ver essa relação é

$$\frac{U_{x_1}}{p_1}=\frac{U_{x_2}}{p_2}$$

Ou seja, é literalmente uma relação bang for your buck: o tanto que se ganha em Utilidade Marginal pelo preço do bem $1$ tem de ser o tanto que se ganha em utilidade pelo preço do bem $2$, de tal forma que se está indiferente entre ambos neste ponto ótimo.

Note também que, como estamos considerando Preferências bem-comportadas – e, em particular, que Preferências bem-comportadas são monotônicas –, temos que as utilidades $\frac{\partial U}{\partial x_i}>0$, pois “mais é melhor”. Portanto, temos, de fato, que $\frac{d{x}_2}{d{x}_1}<0$.

Analogia com Função Produção

A relação análoga ao problema do produtor é que Dada uma função custo, a taxa marginal de substituição técnica é a razão dos produtos marginais.

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References

• Lec 9 | MIT 14.01SC Principles of Microeconomics (Jon Gruber, 2010)

Footnotes

1. Caso tenha ojeriza a dividir infinitesimais, note que estamos usando a função implícita $x_2=x_2(x_1)$. A mesma derivação segue ao abrir $\frac{\partial U}{\partial x_1}$. ↩

2. Pela restrição orçamentária $m=p_1{x}_1+p_2{x}_2$. ↩