Correlação

up:: Covariância

A correlação (de Pearson) entre duas variáveis aleatórias e é uma medida de relação linear entre elas. Caso seja , elas são perfeitamente correlacionadas (positiva/negativamente) de maneira linear.

Ela é dada por

Ou seja, é a Covariância das variáveis, dividido pela raíz das variâncias.

Correlação está entre -1 e 1

Pode-se pensar na covariância como um produto interno¹, . Dessa forma, segue a desigualdade de Cauchy-Schwarz

Argumento geométrico

Tomando , podemos escrever a covariância como

Dessa forma, pela estrutura do produto interno, temos a seguinte identidade

em que é o ângulo² entre e , concluímos que

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References

• Covariance and Correlation
• statistics - how can I prove the value of correlation coefficient ranges between and ? - Mathematics Stack Exchange
• The Geometry of Covariance - YouTube

Footnotes

1. Num espaço vetorial de variáveis aleatórias de média finita. ↩

2. Num espaço euclideano ou num espaço qualquer. Cf. Cosine similarity - Wikipedia. ↩